Как доказать, что треугольник равнобедренный?

У равнобедренного треугольника имеются две равные стороны.

Эти стороны принято называть боковыми, а третью сторону - основанием.

Важным свойством такого треугольника является то, что у него углы при основании равны.

Кроме того, высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой (то есть делит основание на 2 равные части) и биссектрисой (делит угол, противолежащий основанию на 2 равные части).

Пример равнобедренного треугольника изображен на рисунке ниже:

Доказательство того, что треугольник является равнобедренным, обычно сводится либо к определению равенства 2 сторон, либо к определению равенства 2 углов.

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Доказать то, что треугольник ABC - равнобедренный, можно из равенства треугольников BAD и BCD, поскольку из этого будет следовать, что стороны AB и BC будут равны.

Если посмотреть на рисунок, то можно увидеть, что AD = CD, а сторона BD у треугольников общая.

И так как углы ADE и CDE равны, то углы BDA и BDC тоже будут равными (здесь мы имеем дело с 2 парами смежных углов - ADE и ADB, а также CDE и CDB).

Таким образом, треугольники BAD и BCD будут равны по первому признаку равенства треугольников (то есть по 2 сторонам и углу между ними).

Значит, AB = BC, а треугольник ABC - равнобедренный.

Пример 2

Здесь нам дан равнобедренный треугольник ABC, в нём проведены 3 средние линии.

Нужно доказать, что треугольник DEF также является равнобедренным.

Для этого докажем равенство треугольников ADE и CEF.

AD = CF, AE = CE по условию задачи.

Углы при вершинах A и C равны, так как это углы при основании равнобедренного треугольника ABC.

Отсюда, треугольники ADE и CEF равны по первому признаку, следовательно DE = FE, а треугольник DEF - равнобедренный.

Свойство и определение того , что треугольник равнобедренный :

1)боковые стороны треугольника равны между собой.

Значит , необходимо доказывать равенство боковых сторон.

Далее идёт использование свойств равнобедренного треугольника , и нужно доказывать наличие этих свойств :

1)Углы при основании тоже равны между собой.

2)Высота , опущенная на основание является ещё и медианой.

3)Высота , опущенная на основание является также и биссектрисой.

4)Биссектриса угла при вершине является ещё и медианой.

5)Биссектрисы углов при основании равны между собой.

6)Медианы , проведённые к боковым сторонам равны между собой.

7)Высоты , опущенные на обе боковые стороны равны между собой.

Множество других свойств приводят к доказательству перечисленных , и тогда можно говорить о том , что треугольник равнобедренный.

Равнобедренным будет треугольник с равными боковыми сторонами. То есть если боковые стороны равны - треугольник равнобедренный. Другие варианты доказательств:

Если высота к основанию делит основание на две равные части, треугольник равнобедренный

Если углы при основании равны - тоже самое

Если высота к основанию делит угол при вершине пополам - равнобедренный

Если высота является осью симметрии треугольника - равнобедренный

Если высота, медиана или биссектриса проведенная из одного угла при основании равна соответствующим отрезкам проведенным из другого угла при основании

Если упомянутые выше высоты и прочие пересекаются в точке лежащей на высоте проведенной из третьей вершины.

Есть разные способы таких доказательств. Смотря, какие данные у вас имеются.

У равнобедренных треугольников две стороны равны.

И углы при основании у равнобедренных треугольников также равны.

А еще биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно и медианой и высотой.

Это можно сделать по-разному. Из теорему синусов следует , что достаточно доказать равенство двух сторон треугольника. Кроме того, одна высота должна совпадать с медианой и биссектрисой. Можно также проверить - в равнобедренном треугольнике две высоты равны.

Чтобы доказать, что треугольник равнобедренный, нужно показать, что две стороны этого треугольника равны друг другу.

Есть несколько способов доказать, что треугольник равнобедренный, вот некоторые из них:

1. Используя свойства углов: Если в треугольнике два угла равны, то две стороны, примыкающие к этим углам, также равны. Таким образом, если мы можем показать, что два угла в треугольнике равны, то мы можем заключить, что две стороны, примыкающие к этим углам, равны.
2. Используя свойства медиан: Если медиана, проведенная из вершины треугольника, делит противоположную сторону пополам, то треугольник является равнобедренным.
3. Используя свойства высот: Если высота, проведенная из вершины треугольника, перпендикулярна к основанию и делит его на две равные части, то треугольник равнобедренный.
4. Используя свойства равнобедренной трапеции: Если в треугольнике две стороны равны, и одна из этих сторон параллельна и не является основанием, то треугольник является равнобедренной трапецией, а его боковые стороны равны.

Важно помнить, что чтобы доказать равнобедренность треугольника, нужно доказать равенство двух его сторон, а не просто предположить их равенство.

Два главных признака равнобедренного треугольника таковы:

1) Боковые стороны равны.

2) Углы при основании равны.

Таким образом, если нужно доказать, что треугольник равнобедренный, то в первую очередь нужно постараться проверить именно эти свойства.

Вот несложная задача:

Внешний угол равен 100 градусов, так как сумма внешнего и внутреннего углов треугольника равна 180 градусов, то нетрудно посчитать, что внутренний угол BAC = 180 - 100 = 80 градусов.

А другой угол при основании, BCA, уже дан, и он равен 80 градусов.

Соответственно, углы BAC и BCA равны.

Значит, треугольник ABC - равнобедренный.

Ещё одна задача:

Вершины треугольника имеют следующие координаты: А (0; 1), В (1; -4), С (5; 2).

Как доказать, что он равнобедренный?

Достаточно найти длины сторон по формуле:

AB = √(1 + (-5)²) = √26.

BC = √(4² + 6²) = √52.

AC = √(5² + 1²) = √26.

Получаем AB = AC, следовательно треугольник равнобедренный.

_

Также можно выделить другие признаки подобного треугольника:

1) Высота делит основание на 2 равные части, она является также медианой и биссектрисой.

2) Высоты, биссектрисы, медианы, проведенные из углов основания к боковым сторонам равны.