Как доказать что сторона треугольника > его удвоенного основания (см.)?

В сущности задача сводится к тому, чтобы доказать, что синус 10 градусов меньше одной четвёртой. Проще всего заглянуть в Брадиса или проверить на калькуляторе. Но можн и доказать аналитически.

Обозначим угол в 10 градусов за а. Исходное условие примет вид

sin a < 1/4

Воспользуемся тем, что sin 3a=1/2

sin a < 0,5 sin 3 a

Разложим синус справа по формуле тройного угла

sin a < 0,5 * sin a (3 - 4 sin^2 a)

Сократим на sin a, потому что знаем, что он больше нуля

1 < 0,5 (3 - 4 sin^2 a)

2 < 3 - 4 sin^2 a

4 sin^2 a < 1

sin^2 a < 1/4

Синусы углов треугольника отрицательными не бывают, поэтому при извлечении корня -1/2 отбросим

sin a < 1/2

sin a < sin 3a

Выражение для углов, которые оба находятся в первой четверти вполне справедливо.

Ещё проще доказывать геометрически с помощью построения.

Делим боковую сторону пополам, устанавливаем одну ножку циркуля в вершину при основании, раствор циркуля берём равным половине боковой стороны, убеждаемся, что основание меньше, чем раствор циркуля.

Геометрическое доказательство - тоже доказательство.

Насколько оригинальны и неординарны всегда ваши задачи , уважаемый автор!

Но начнём.Основание против угла 20 градусов можно соотнести с большой стороной равнобедренного треугольника только через теорему синусов (для меня так проще ).Пусть эта сторона =а , а боковые стороны = b.Тогда :

a/ sin 20 = b/ sin (180 - 20 )/2 = b / sin (90 - 20) ,

И уже вижу тупик с этими синусами и косинусами.

Значит , даже не строя окружность , а зная , что сторона против угла в 20 градусов составляет 20 \ 360 = 1 \18 часть окружности.Апроксимируя , то есть приравнивая а = 2 pi * R /18 = 2 * 3,14 *b /18 = b /2,86 , но учитывая , что мы приняли а как хорду . охватывающей дугу в 20 градусов.Но хорда меньше дуги.Значит , а еще меньше чем b / 2,86 , что вроде и требуется доказать в задаче.

Да ,окружность для решения можно построить без циркуля , от руки , только для пояснения рассуждений.

Логически рассуждаем так. Центральный угол правильного 18 угольника равен 20⁰. Длину окружности, в которую вписан многоугольник, округлено примем равной 6 радиусам. Боковая сторона равнобедренного треугольника соответствует радиусу окружности, а основание - стороне 18 угольника. Тогда дуга, стягивающая две стороны 18 угольника равна 6/9 или после сокращения 2/3 R. Дуга всегда больше стягивающей ее хорды. Следовательно, две стороны 18 угольника и подавно меньше радиуса окружности.

Проведем высоту из вершины к основанию.Примем обозначение-а-основание,в-боковая сторона.Тогда из теоремы синусов следует: а\2sin10*=в\sin 90 *=в.Умножим обе части равенства на 4.Получим:2а\sin10*=4в.Далее Sin10*=0,1736.Далее 2а =0,1736в4=0,6944в отсюда видно что просто 1в больше чем 2а,так как всего лишь 0,6944 от "в"=2а