Сначала необходимо определиться с частью речи, к которой относится заданное сочетание предлога с именем существительным. Думаю, что это сделать нетрудно -- ведь это сочетание обозначает признак действия, примыкает обычно к глаголу и не изменяется при связи с другими словами в предложении.
Вот пример. Александра Константиновна была хорошим парикмахером, имела постоянных клиенток, которых обслуживала на дому.
Все перечисленные выше признаки позволяют утверждать, что сочетание на дому имеет наречное значение.
К тому же оно имеет в составе предлог на.
По поводу таких наречных сочетаний в русском языке есть правило: они пишутся раздельно.
Вот и другие примеры подобных наречных сочетаний: на весу, на глазок, на зависть, на диво, на днях, на грех и т.п.
Добавлю, что раздельно пишутся и наречные сочетания существительных не только с предлогом на,
но и с предлогами "без, с, до" (без просвета, с размаху, до неузнаваемости).
