Вопрос о пути пьяного, как доказать?

Задача сформулирована непонятно. Но даже если принять условно, что расстояние всё же измеряется в шагах. То по тому как задача сформулирована, это расстояние не равно ln(k)

Давайте переформулируем в математические термины, что же от нас хотят.

Нарисуем эту прямую линию. Проще говоря числовую прямую и в точке 0 поставим пьяницу.

Далее числа числовой прямой показывают расстояние от 0 (естественно по модулю)

И теперь наш пьяница сделал k шагов. В каких точках он может оказаться. Очевидно, что в одной от -k до k. У каждой точки своя вероятность pᵢ

Чему же равна каждая такая вероятность pᵢ? Ну собственно в точку k и (-k) попадем когда все k шагов будут одинаковыми (назовем успешными) с вероятностью 1/2ᵏ

В точку k-1 (-k+1) - не попадем вообще - вероятность 0

В точке k-2 (-k+2) вероятность будет с k-1 успехом и 1 неуспехом и будет Сᵏ₁ - вариантов. То есть p = Сᵏ₁ • 1/2ᵏ

Понятно что все остальные вероятности через один шаг вычисляются по формуле Бернулли, а остальные равны 0

Поскольку нам нужны расстояния, то достаточно рассмотреть только положительную ось и вероятности умножить на 2 (для простоты)

Ну а теперь нам нужно математическое ожидание (в какой точке окажется).

Надо каждое значение умножить на его вероятность. И найти сумму этих произведений.

По прикидкам эту сумму можно было сравнить например с разложением ln(1+k-1) в ряд Тейлора, но эти суммы не очень то и похожи.

Но проверим. Ведь как посчитать мы уже знаем. Так вот на 10 шагах получим M(10)≈ 2,461

ln(10) ≈ 2,3 Ну вроде близко. Может мы ошибаемся и действительно будет рядом.

Но на 11 шагах M(11) ≈ 2,707, а ln(11) ≈ 2,397 Разница то растет с увеличением шагов.

А на 100 шагах M(100) ≈ 7,96, а ln(100) ≈ 4,6 - Ну совсем разные результаты.

Так что совсем не равно ln(k). Вас обманули

Или вы что то напортачили с условием. Или не поняли друг друга в объяснениях.

То есть существуют некие приближенные оценки.

Можно сказать, что зависимость похожа на логарифмическую.

Но можно и сказать, что на степенную со степенью 1/2, то есть грубо говоря √(k). Но это всё оценочные значения, а не точные.