Как найти площадь четырехугольника с вершинами (4; 2),(8; 4),(6; 8),(2; 6)?

Можно вычислить площадь большого квадрата, в который вписан наш искомый квадрат.

Сторона этого квадрата составляет 6 см (8-2=6).

Площадь квадрата вычисляется по формуле:

Отсюда, площадь большого квадрата: S=6*6=36 кв.см.

Из нее надо вычесть площадь квадрата со стороной 4 см. Так как из четырех треугольников можно сложить один квадрат. S=4*4=16.

Теперь осталось лишь найти разницу: 36-16=20 кв.см.

Ответ: 20 кв.см.

Площадь можно вычислить по формуле Пика для многоугольника с целочисленными вершинами.

S = a + b/2 – 1 = 4 +4/2 – 1 = 5,

где а - количество точек внутри многоугольника (красных), а b - количество точек на границе многоугольника (синих). Так как площадь клетки в 4 раза больше единичной, то площадь четырехугольника

5*4 = 20.

В качестве другого варианта, воспользуемся «формулой шнурков» (Гаусса). Построим матрицу из чисел координат. Соединим числа косыми отрезками.

S = (4*4 + 8*8 + 6*6 + 2*2 – 8*2 – 6*4 – 2*8 – 4*6)/2 = 20.

Закрашенная фигура состоит из четырех прямоугольных треугольников с катетами 4 и 2

и квадрата со стороной 2.

Находим площади этих фигур.

Сумма площадей прямоугольных треугольников:

4 * ((4 * 2)/2) = 16

Площадь квадрата:

2 * 2 = 4

Площадь закрашенной фигуры: 16 + 4 = 20.

По координатам точек можно найти что каждая сторона четырехугольника равна корень из 20.Значит фигура по крайней мере ромб.

Но на самом деле это квадрат.

Это тоже можно при желании доказать.

Площадь квадрата равна :

20^(1/2) *20^(1/2)=20

Ответ-20

1)Разбить на два треугольника,далее применить либо теорему синусов/косинусов,ли­бо формулу Герона.

2)Формула площади Гаусса.

3)Какие-либо соображения из курса аналитической геометрии(в частности,площадь треугольника через определитель матрицы).