С точки зрения современного литературного языка сочетание СОЕДИНИТЬ ВОЕДИНО относится к разряду мнимых тавтологий, и посему оно считается вполне допустимым в употреблении.
Действительно, глагол соединить и наречие воедино имеют общий корень -ед-.
Но это только с этимологической точки зрения на состав слов.
На деле употребление этих слов в одном словосочетании не является простым повторением однокоренных слов для усиления смысла. Здесь наблюдается необходимое уточнение в конкретных случаях глагола соединить наречием воедино.
Что значит наречие воедино?
В словарях русского языка, например, в "Словаре русского языка" Ожегова, воедино толкуется как в одно место, в одно целое. В семнадцатитомном академическом "Словаре современного русского литературного языка" это слово тоже толкуется как в одно целое, вместе. Больше того, в этом словаре есть указание на условия сочетаемости этого наречия:
"Обычно при глаголах: сливать, СОЕДИНЯТЬ, собирать и близких к ним по значению".
А вот сочетание соединить между собой тавтологично, потому что в глаголе соединить уже содержится указание на то, что объекты действия скрепляются друг с другом с помощью чччего-либо. Это одно из значений глагола соединить.
