Итак, это уравнение на самом деле не такое уж и сложное, если знать, что такое: во-первых, формула двойного угла ( здесь - именно косинусат), а во-вторых, формул приведения, ну и наконец нужно уметь ориентироваться по тригонометрической окружности ( хотя это задача первоначальная, а только потом стоит приступать к формулам тригонометрии...). Давайте теперь решим уравнение и выберем нужные нам корни.
cos2x = sin ( x + π/2 )
Вспомним, что cos2x =
cos²x - sin²x = 2cos²x-1
А также sin (x + π /2 ) = cos x
2cos²x - 1 - cosx = 0
cosx = n
2n² - n - 1 = 0
D = 1 + 8 = 9
√D = 3
x1 = 1 + 3/ 2•2 = 1
x2 = 1 - 3 / 2•2 = -2/4 = -1/2
Сделаем обратную замену:
1)cosx = 1
x = arccos1 + πm, m ∈ Z
x = 2πm, m ∈ Z
2)cosx = -1/2
x = -arccos1/2 + 2πk, k ∈ Z
x = 2π/3 + 2πk, k ∈ Z
x = 4π/3 + 2πk, k ∈ Z
Из этого следует, что ответ: 2πm, m ∈ Z, 2π/3 + 2πk, k ∈ Z, 4π/3 + 2πk, k ∈ Z; а значит нам подходит именно второй рисунок ( № 2 ).
Таким образом, тригонометрия встречается на ЕГЭ по математике на базовом и профильном уровнях ( но если профиль, то во второй части нужно тем более уметь решать это и похожие уравнения, так как тригонометрия может выпасть в номере 13 ).
