"Объемлет" или "объемлит" - как правильно пишется, почему?

Это слово является устаревшей формой слова охватывает.

В русском языке это слово называют новозаветным, ведь оно пришло к нам из Библии. Поэтому в церковно-славянском языке и той сфере, которая этот язык активно использует, я имею в виду РПЦ, его отнюдь не считают архаизмом. Вкратце об этом слове и перехожу к ответам на ваши вопросы.

Слово "объемлет" является глаголом третьего лица единственного числа в настоящем времени. В инфинитиве(неопределённой форме) его ранее писали объемать, а сейчас в церковно-славянском языке объемлеть, что полностью соответствует слову объять. Чтобы объяснить правописание этого слова, надо серьёзно погрузиться в "Грамматический словарь Андрея Анатольевича Зализняка". Или хотя бы ознакомиться с данным произведением этого академика всем, у кого до сих пор не иссякло желание улучшать свой русский язык. В этом словаре, изданном в 1977 и многократно переизданном содержится порядка 100 тыс. слов русского языка с их полным морфологическим разбором.

А чтобы знать верное написание глагола, лучше и после школы помнить правила спряжения глаголов в русском языке. Спряжение это изменение глагола по многим различным грамматическим категориям. В русском языке их два - I и II спряжения. Эти правила таковы. Если в личной форме глагол имеет ударное окончание, этим окончаниям и определяется его спряжение. Глаголы I спряжения заканчиваются так: -у(-ю), ем(-ём), -ешь(-ёшь), -ете(-ёте),-ут(-ют). Глаголы II спряжения заканчиваются иначе: -у(-ю), -им, -ишь, -ите, -ит, -ат(-ят). Если же в личной форме у глагола безударное окончание, то лишь тогда надо приводить в помощь инфинитив и лишь тогда действует правило с окончаниями глаголов на -ить, которые относятся к II спряжению, кроме 2 исключений(брить, стелить) и всем остальным, относящимся к I спряжению, кроме 11 исключений(вертеть, видеть, гнать, держать. дышать, зависеть, ненавидеть, обидеть, слышать, смотреть, терпеть).

Так как слово объемлет и есть личная форма глагола с безударным окончанием, то можно звать в помощь инфинитив. Но не объемлеть, так как для Вас он спорен, а объять. Который укажет на I спряжение. Если же Вы сомневаетесь в том, что объять и объемлет - разные виды спряжения одного глагола, можно поставить его в личную форму множественного числа. Тут нам поможет слово всеобъемлющие, как подсказка глагола объемлют, который заканчивается на -ют и тоже укажет на I спряжение.

Так как все глаголы I спряжения третьего лица единственного числа в настоящем времени заканчиваются на -ет(-ёт), так же заканчивается и это слово.