Как правильно говорить: "на дому" или "на доме"?

Есть и "на дому", есть и "на доме" - оба варианта правильны и употребляемы, только каждый в своем контексте.

Выражение "на дому" используется в том случае, когда желают донести смысл того что некоторое действо происходит в домашних условиях, например - "Предлагаю услуги репетитора на дому" это означает что человек, выезжает к месту жительства заказчика - "нА дом"

Другое выражение "на доме" выражает мысль о том, что нечто находится буквально сверху дома, на доме, над домом... Применяется в следующем случае, например "На доме примостилась стайка воробьев" Это значит что воробьи сидят "на дОме"

Вот такое совершенно разное значение, двух, почти одинаковых выражений.

Верны, конечно, оба варианта. Но не во всех случаях можно использовать и тот, и другой вариант.

1.(где? на чём? в каком месте?) На доме.

Такой вариант можно применить, когда мы хотим рассказать что-то о месторасположении какого-то предмета на здании дома. "На доме" - это значит, на крыше дома, на его стене, на двери.

2.(где? в каком месте?) На дому.

Такую форму можно признавать нормой, если речь идёт не о здании, а о жилище, в котором производится какая-то работа. "На дому" можно давать или брать уроки, выполнять работу диспетчера и так далее.

Варьирование окончаний Предложного падежа обусловлена в данном случае не различной стилистикой, а показывает разный смысл текста.

Почти все, мне кажется, безошибочно скажут, что говорить "в дому" вместо "в доме", нельзя. Форма предложного падежа слова "дом" в сочетании с предлогом "в" всегда должна иметь окончание "-е". А случай с тем же падежом, но с предлогом "на", посложнее.

В разных предложениях со словом "дом", в которых выражен различный смысл, пишется иногда "на доме" (чаще), а иногда пишут "на дому" (реже).

Например:

• "На доме виднелась высоченная антенна, установленная на самой крыше". В этом смысле нужно и говорить, и писать только "на доме". В предложении указывается месторасположение высокой антенны, которая видна наверху. Точно так же что-то могло виднеться на дубе, на сарае, на гараже или на домике. И это очень важно: возможность заменить сочетание "на доме" на форму "на домике".
• "Парикмахер Иван Борисович в старые времена принимал на дому". В этом случае "принимал на доме", говорить не принято. К тому же заменить "на дому" на "на домику" никак не получится. Потеряется весь смысл.

Если в двух словах, то: 1) если о месте вверху или на стене - то "на доме". Там может быть объявление, флаг, вывеска; 2) если о месте работы дома - то "на дому". Там может работать любой специалист, для которого не выходить из своего дома удобнее или привычнее.

Все зависит от смысловой нагрузки, которую Вы хотите вложить в сказанное.

И первый и второй варианты употребляются в русской речи:

• "на дому", в значении что-то внутри здания. Костоправ работает на дому, записаться можно по телефону.
• "на доме", применяется в смысле, что-то на внешней части дома. На нашем доме установлена спутниковая антенна. Козырёк на доме немного накренился.

"На дому" говорят в тех случаях, когда что-то происходит дома, например "работа на дому", "учиться на дому" и пр.

"на доме" говорят, когда что-то располагается сверху дома (на крыше). Но скорее всего выражение "на доме" не совсем верное само по себе.