Как найти тупой угол треугольника, если известны углы в двух треугольниках?

Решение с помощью элементарной геометрии.

В треугольнике DAC угол ADC = 180° - 45° = 135°; угол DAC = 180° - 135° - 30° = 15°.

Чтобы найти угол треугольника АВС произведём дополнительные построения. Установим перпендикуляр ВЕ к стороне АС и соединим отрезком точки Е и D. Получились два прямоугольных треугольника ВЕА и СЕВ.

В прямоугольном треугольнике СЕВ отрезок ЕD является его медианой, а угол

ЕВС = 180° - 90° - 30° = 60°.

В любом прямоугольном треугольнике его медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, и катет, если он лежит напротив угла 30°, равны половине гипотенузы. Следовательно, BD = DE = EB и треугольник BDE является равносторонним.

Тогда угол ADE = BDE - BDA = 60° - 45° = 15°. Получается, что два угла треугольника ADE равны и этот треугольник равнобедренный, то есть АЕ = ED = ВЕ.

Из этого следует, что прямоугольный треугольник ВЕА так же является равнобедренным, а его угол

АВЕ = (180° - 90°)/2 = 45°.

Таким образом, угол АВС складывается из двух углов АВЕ и ЕВС:

АВС = 45° + 60° = 105°.

Решение с помощью тригонометрии.

Обозначим угол BAD как а.

Из теоремы синусов:

sin(a) / BD = sin(45°) / AB

и

sin(a + 15°) / (2·BD) = sin(30°) / AB.

Получаем:

BD = AB·sin(a) / sin(45°),

sin(a + 15°) = 2·BD·sin(30°) / AB.

Подставляем первое выражение во второе:

sin(a + 15°) = (2·AB·sin(a)·sin(30°)) / (AB·sin(45°)) = (2·sin(a)·sin(30°)) / sin(45°).

В результате имеем:

sin(a + 15°) / sin(a) = 2·sin(30°) / sin(45°);

(sin(a)·cos(15°) + cos(a)·sin(15°)) / sin(a) = 2·sin(30°) / sin(45°);

cos(15°) + ctg(a)·sin(15°) = 2·sin(30°) / sin(45°);

ctg(a) = (2·sin(30°) / sin(45°) - cos(15°)) / sin(15°);

ctg(a) = (2·0.5 / 0.7071 - 0.965) / 0.258 = 1.732;

tg(a) = 1 / 1.732 = 0.5774;

arctg(0.5774) = 30°.

Угол BAD равен 30°, значит угол

АВС = 180° - 45° - 30° = 105°.

Как можно заметить, величины углов в треугольниках АВС и АВD полностью совпадают, они тождественны друг другу. Следовательно, существует третье возможное решение через доказательство конгруэнтности этих треугольников.