Какой цифрой оканчивается тридцать пятая степень числа 947, это 1; 3 или 7?

Возведение в степень числа, оканчивающегося на цифру "7", имеет ту особенность, что при возведении наблюдается повторяемость последней цифры: это могут быть цифры 7, 9, 3 и 1. Повторяться они будут именно в такой последовательности. Ведь разряд единиц (последняя цифра) любого произведения определяется только произведением цифр из разряда единиц сомножителей - остальные разряды можно не рассматривать. Поэтому первая степень искомого числа оканчивается на 7, вторая - на 9 (7*7=49), третья - на 3 (9*7=63), четвертая - на 1 (3*7=21), а пятая - опять на 7 (1*7=7). И так далее. Повторяемость происходит через каждые 4 степени. Делим 35 на 4 и получаем 8 и 3 в остатке. Значит, последней цифрой числа 947 в 35-й степени будет такая же, как и в 3-й. Смотрим выше и делаем заключение: тридцать пятая степень числа 947 будет оканчиваться цифрой 3.

Рассмотрим ряд чисел:

7^0=1;

7^1=7;

7^2=49;

7^3=343;

7^4=2401;

7^5=16807;

7^6=117649;

7^7=823543;

7^8=5764801.

Мы видим, что последние цифры повторяются через каждые 4 строки. Значит, чтобы определить последнюю цифру в числе 7^35, нужно из 35 вычесть наименьшее общее кратное от числа "4", не превышающее 35, т.е. 32. Таким образом, последняя цифра числа 7^35 совпадает с последней цифрой числа 7^(35-32)=7^3=343, т.е число 7^35 заканчивается цифрой 3, соответственно и число 947^35 заканчивается цифрой 3.