Как решить задачу про сумму цифр и сумму квадратов цифр числа?

сложная задача. Разберем равенство K(n) = 8*S(n) + 83, чтобы было понятней для начала выкинем из него 83. Попробуем решить, для однозначного числа, так как слева квадрат той цифры, что справа, то равенство будет выполнено если n равно 8, для двузначного - 88 и т.д. Если же мы возьмем 9, то число слева (81) будет на 9 больше того что справа (72), т.е. только при условии что к числу мы будет добавлять только девятки, K(n) сможет расти быстрее чем 8*S(n).

Если в числе будет одна 9 то нам не будет хватать для покрытия "лишних" 83 еще 74. Делим 83/9=9 и 2 в остатке, т.е. нам нужно 9 девяток и еще что-то чтобы покрыть остаток 2. Но как мы ранее выяснили левая сторона равенства может расти быстрее правой если только добавлять к числу цифру 9, значит нам придется добавить еще одну 9, но тогда получится лишних 7 единиц. Убрать их можно добавляя к числу цифры меньше 8. Нам нужна цифра у которой ее квадрат меньше увосмеренного значения на 7, таких две 1 и 7.

Так как нам нужно меньшее число, то выбираем 1 и ставим ее самой первой, при этом можем поставить в любое место и условие будет соблюдено, но для получения наименьшего числа нужно поставить слева, т.е. нужное нам число состоит из одной 1 и десяти 9.

Представим число в виде а1а2.. ап.Тогда согласно условиям a1*a1+a2*a2+..+an*an­=8a1+8a2+..+8an+83.Ан­ализируя данное равенство видно что часть аi>9(i-как назвала Светлана-индекс).Нам нужно наименьшее число.Поэтому пусть аi=9 с некоторого i=k до i=n,а для i<k, ai<9( по крайней мере ак<9).Тогда выражение перепишется в виде а1*а1+..+ак*ак+81(n-­k)=8(a1+..+ak)+72(n-k­)+83.Далее а1*а1+..+ак*ак+9(n-k­)=8(a1+...+ak)+83.Раз нас интересует наименьшее число то чем меньше k,тем оно меньше( посмотрите на правую часть последнего равенства).Пусть к=0,тогда 9п=83,что невозможно,так как п-целое число.Пусть к=1,тогда получим выражение а1*а1+9(п-1)=8а1+83.­Из последнего получим выражение для п.Вот оно 9п=92-а1*а1+8а1.Подс­тавляя вместо а1 значения от 1 до 9 получим следующие пары-а1 =1 и п=11,а1=5 и п=13,а1=7 и п=11.(при других а1 получаются дробные значения п -вроде проверил))Наилучший ответ а1=1 и п=11.Наше число 19999999999.