Как изменится орбитальная (линейная) скорость спутника?

Что ниже - относится к орбитальному движению. Не какому-то экстремальному, типа, вокруг чёрной дыры. Земля для простоты и наглядности в самый раз. Не всякие движения в космосе - орбитальные. Жидкостный ракетный двигатель - штука с очень высокой удельной мощностью. За минуты может сообщить космическому аппарату скорость более второй космической...

Наверное многим запомнились с детства-отрочества слова Чёрной Королевы - героини сказки английского математика Льюиса Кэрролла "Алиса в Зазеркалье":

Действительно, какой удивительный, парадоксальный мир этой самой Чёрной Королевы! Где это видано, где это слыхано...

Чёрная Королева перешагнула порог сказки: в науке есть Эффект Чёрной Королевы.

Посмотрим, однако, на орбитальное движение.

Постоянное движение космического аппарата по круговой орбите определяется постоянным равенством центробежной и гравитационной сил, действующих на космический аппарат.

Уравнение:

Слева центробежная сила, справа гравитационная сила.

Значения в уравнении:

m - масса космического аппарата,

v - орбитальная (линейная) скорость,

M - масса центрального тела (Земли, для конкретики),

G - гравитационная постоянная.

Из величин, входящих в уравнение переменные при непосредственном управления космическим аппаратом - две:

v - скорость - только на этот показатель можно влиять тяговым двигателем. А ничего другого у космического аппарата и нет.

m - масса - уменьшается в процессе работы тягового двигателя. Входит в обе части уравнения сомножителем в первой степени. Сокращаем. Влияния на установившееся орбитальное движение нет.

Ясно, что любое влияние на скорость космического аппарата с помощью двигателя нарушает баланс уравнения орбитального движения. Увеличение орбитальной (линейной) скорости изменяет баланс в пользу центробежной. Под действием центробежной силы, если она сколь-нибудь превосходит гравитацию, космический аппарат от "центра бежит", т.е. радиус орбиты увеличивается.

Из уравнения запишем формулу орбитальной (линейной) скорости.

Видим, v однозначно определяется r и обратно пропорционально зависит от квадратного корня из r:

Поэтому, верен сделанный здесь двумя авторами вывод, что в результате манёвра, осуществлённого двумя приёмами тяги по вектору орбитальной (линейной) скорости, эта скорость снизится.

Аналогично, в результате манёвра, осуществлённого двумя приёмами тяги против вектора орбитальной (линейной) скорости, эта скорость увеличится. Разница в следующем.

Дать тягу двигателем («прожиг») против вектора скорости, чтобы её уменьшить. Космический аппарат перейдёт с круговой орбиты на эллиптическую. В нижней точке эллиптической обиты (перицентре) дать второй «прожиг» против вектора скорости, чтобы её уменьшить. Теперь космический аппарат на орбите ниже предыдущей и скорость его стала больше, чем была до начала манёвра...

А если космический аппарат будет тормозиться не короткими интенсивными "прожигами" главного двигателя, а ограниченной, постоянно действующей тормозной силой? Тогда, например, "аэродинамический парадокс спутника".

Понятно уже, в чём этот парадокс состоит: атмосфера (а разряженные остатки атмосферы наблюдается до высоты 1000 км) постоянно тормозит спутник, в результате чего он постепенно (по плоской, пологой Архимедовой спирали) снижается и скорость его увеличивается, устремляясь к первой космической. Расти, бывает, и есть куда, потому что даже на такой весьма низкой орбите, как у МКС орбитальная (линейная) скорость почти на 3% ниже первой космической. Ещё в детстве мне казалось подозрительным, что самопроизвольно, в течении продолжительного времени, сходящие с орбиты предметы сгорают (большей частью сгорают, как вытолканное с МКС не нужное устройство весом 400 кг, оно сходило с орбиты прибл года полтора). А вот оно оказалось что.

Аэродинамический парадокс спутника хорошо проанализирован в журнале "Квант" 1998 г. Правда, мне кажется, что к тем же выводам можно прийти проще и короче, начав "плясать" от другого закона сохранения. На досуге (если будет) попробую.

Погодите, но ведь аэродинамический парадокс спутника — это частный случай. А что, если космический аппарат будет на орбите вокруг Луны и будет постоянно, потихонечку тормозить ионным двигателем (или чередовать ионный двигатель и солнечный парус)? Да то же самое. Будет снижаться по плоской Архимедовой спирали, и скорость его будет увеличиваться.

Ну, а если тягу-то, тягу будем давать по вектору скорости? Ничего теперь уже для нас неожиданного: будет подъём и уменьшение скорости.

На всякий случай сформулирую парадокс орбитальной скорости:

• Ограниченное силовое воздействие (любой природы) на космический аппарат по линии вектора орбитальной (линейной) скорости приводит к результату, противоположному второму закону Ньютона (не опровергая его: система не инерциальная): воздействие по вектору скорости приводит к уменьшению скорости (и увеличению высоты аппарата), воздействие против вектора скорости приводит к увеличению скорости (и снижению высоты аппарата). При этом в отсутствие воздействия на космический аппарат его орбитальная (линейная) скорость сохраняется сколь угодно долго. Ставлю свой копирайт ©.

Чтоб был понятнее парадокс, скажем так:

• Летишь по орбите и хочешь полететь быстрее - жми на тормоз, быстрее и полетишь. Хочешь лететь медленнее - жми на "газ", замедлишь полёт.

Чёрная Королева, с её беготнёй по конвейерной ленте против движения, отдыхает.

Снизилась.

Для движения по круговой орбите нужна "первая космическая скорость". А она определяется силой тяготения - чем сильнее тяготение, тем выше нужна скорость для движения по кругу. Но тяготение СЛАБЕЕТ с удалением от центра. Поэтому естественно, что 1я косм.скорость будет разной для разных высот. Вблизи поверхности Земли она составляет 7.9 км/сек. Между тем, Луна движется по своей орбите (тоже круговой) со скоростью всего 2 км/сек. Зато - на огромной высоте (400 тыс.км.)

Поэтому чем выше ты хочешь расположить на орбите спутник, тем МЕДЛЕННЕЕ он должен по ней двигаться.

А подталкивание двигателем "вперед" - нужно только для того, чтобы превысить 1ю косм.скорость и тем самым заставить спутник подниматься вверх по горочке. По мере подъема он (естественно!) будет терять свою скорость. Где-то на середине этого подъема его скорость сравняется с 1й косм. для этой высоты - но спутник не сможет на этой высоте остаться, потому что уже успел приобрести ВЕРТИКАЛЬНУЮ скорость - он продолжает по инерции подниматься все выше, и нет причины, чтобы заставить его "свернуть" на окружность на этой высоте. Поэтому он продолжает подниматься и терять скорость. Когда подъем наконец прекратится, орбитальная скорость окажется НИЖЕ необходимой для этой высоты. Поэтому спутник начнет падать обратно, и набирать скорость снова. Одним словом - движется по ЭЛЛИПСУ. Если же ты хочешь, чтобы он остался на достигнутой высоте и не начал снова падать - нужно дать ему ЕЩЕ ОДИН толчок вперед. И сровнять его скорость с 1й косм. для этой высоты. Эта скорость будет определенно ниже той, с которой все начиналось, но зато мы получим снова круговую орбиту на гораздо большей высоте.

А в чем собственно вопрос-то? Ясно, что средняя линейная скорость спутника увеличися, продолжая подчиняться законам Кеплера, где за одно и то же время прямая от центра масс до спутника будет очерчивать равные площади.

Только аместо Солнца в данном случае будет Земля, а вместо планеты - искуственный спутник.

Скорость то нашего спутника увеличится в несколько раз, но как говорится тут есть свои нюансы.

Это связано с тем, что орбитальная скорость зависит собственно от высоты нашего спутника. То есть его орбиты, чем она ниже, тем выше орбитальная скорость Чем все это можно объяснить. Если мы с вами уменьшим ее радиус орбиты, тем больше станет центростремительное ускорение, что приведет к увеличению скорости. Это следует из 2-го закона Ньютона: центростремительное ускорение- квадрат линейной скорости, поделенный на Р. Т. е. сам радиус. И, чтобы поддерживать свою скорость спутнику придется выше не много подняться. Это необходимо для того, чтобы спутник мог поддерживать собственное равновесие.