Если вы видите это сообщение, значит, произошла проблема с загрузкой файлов в стилей (CSS) нашего сайта. Попробуйте сбросить кэш браузера (Ctrl+F5). Если это не поможет, а вы находитесь в регионе, где возможны ограничения интернет-трафика с российских серверов - воспользуйтесь VPN.
1
Когда поезд едет? Парадокс физики? (см)?
Из курса школьной физики мы знаем, что при вращении колеса в каждый момент времени оно соприкасается с поверхностью одной точкой. Поскольку дорога не движется, то и точка соприкосновения на колесе тоже стоит на месте. Если одна точка колеса не движется, то и остальные точки колеса тоже стоят на месте. А между моментами времени тоже есть моменты времени, во время которых колесо стоит. Но поезд то ЕДЕТ!!!
Извините, Михаиллл, но Вы, похоже, забыли школьный курс физики. Того о чем Вы говорите, именно в таком виде, вовсе нет. Вы правы утверждая, что мгновенная скорость точки колеса , касающейся рельса, в момент касания равна нулю. Но остальные точки колеса вовсе не неподвижны. В реальности все колесо вращается вокруг точки касания и вектор мгновенной скорости любой другой точки колеса будет направлен перпендикулярно радиус вектору, соединяющему эту точку с точкой касания. Таким образом, вектор мгновенной скорости центра колеса всегда будет равен вектору скорости поезда и ни каких моментов времени, когда колесо стоит, не будет.— 12 лет назад
PavelR
[7.4K]
Колесо вращается не вокруг точки касания (где колесо соприкасается с рельсом), а как и обычное колесо вокруг центральной точки колеса. Если бы колесо вращалось вокруг точки касания, то через пол оборота колесо должно оказаться ниже рельса.— 12 лет назад
bk.ru
[10.3K]
Уважаемый Павел, я упоминал мгновенные скорости на отрезке времени dt. В этом случае вполне допустимо и следует рассматривать данную задачу таким способом. И такой способ позволяет очень просто (можно даже графически) находить мгновенные скорости точек не только на ободе колеса, а вообще любой точки колеса. А в средней школе, данная задача рассматривается именно таким способом, и говорится именно о вращении колеса вокруг точки касания, за время dt стремящемся к нулю.— 12 лет назад
PavelR
[7.4K]
Уважаемый Павел М. Если посмотреть на представленный в моем первом ответе рисунок, то в любой данный момент времени вектор скорости любой точки обода (например, B, C и D) действительно перпендикулярен прямой линии, проведенной из точки касания А в данную точку (B, C или D). То есть, как будто все точки обода (и всего колеса) вращаются вокруг точки А. Но скорости разных точек на ободе РАЗНЫЕ и меняются со временем. Максимальная скорость будет в верхней точке В. Поэтому траектория движения не будет окружность. На новом рисунке (пришлось рисунок вставить в новый ответ, так как в комментарий рисунок не вставляется) представлена действительная траектория движения любой точки обода относительно рельса – видно, что точка на ободе движется по дуге. Пройдя точку касания с рельсом, эта точка начинает движение по следующей дуге. Один оборот колеса – одна дуга.— 12 лет назад
bk.ru
[10.3K]
Уважаемый Павел, и я о том же. Вектор мгновенной скорости любой точки (не только точки на ободе) катящегося колеса перпендикулярен радиус вектору, соединяющему рассматриваемую точку с точкой касания колеса с поверхностью. И модуль этой мгновенной скорости пропорционален длине упомянутого радиус вектора. Именно эти обстоятельства и приводят к пониманию (трактованию) того, что в каждый момент времени, длительность которого стремиться к нулю, колесо вращается вокруг точки касания. Подобный физический взгляд на динамику движения катящегося колеса применяется не только в школьной программе физики, а широко используется инженерами при расчете мгновенных нагрузок на катящееся колесо. Ну, а то, что скорость точки максимальна вверху, минимальна внизу, и, что траектория движения точки на ободе называется циклоидой мне было хорошо известно, по меньшей мере, лет 45 назад.— 12 лет назад
PavelR
[7.4K]
Павлу М. Ну вот, теперь всё понятно. Мы к одной и той же задаче подходили с разных сторон. Вы с точки зрения инженера, а я с точки зрения физики. Какой способ проще для каждой конкретной задачи, тот и надо выбирать. Для меня наша дискуссия была весьма полезной. Спасибо Вам.— 12 лет назад
все комментарии (еще 1)
комментировать
6
Никакого парадокса нет. Посмотрите на рисунок
Внизу показано колесо, движущееся по дороге без проскальзывания, как и колеса вагона. Дело в том, что каждая точка на ободе колеса участвует сразу в двух движениях. Прежде всего поезд движется со скоростью vп. Это значит, что центральная точка колеса О движется поступательно с той же скоростью vп слева направо. Но вместе с тем колесо (а значит и обод колеса) вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью Омега (это греческая буква омега на рисунке). Любая точка обода из-за вращения колеса движется с линейной скоростью vвр, направление этой скорости по касательной к ободу колеса. Смотри рисунок. В самой нижней точке обода (где обод соприкасается с рельсом, точка А) эта точка А неподвижна (в данный момент времени), так как колесо не проскальзывает по рельсу. То есть в точке А vп = -vвр, так как эти скорости направлены в разные стороны и равны по абсолютной величине. В самой верхней точке колеса В обе скорости vп и vвр направлены в одну сторону (слева направо). Поэтому скорость движения обода в точке В направлена слева направо и равна vп + vвр = 2vп. Куда направлена скорость в точках D и C видно на рисунке. Итак, любая точка на ободе совершает одновременно два движения – линейное со скоростью поезда и вращательное по касательной к ободу. Так что в самой нижней точке (где колесо соприкасается с рельсом) линейная скорость обода равна нулю, а в самой верхней точке линейная скорость обода в 2 раза больше скорости поезда.
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
2
Нет тут никакого парадокса, зато есть неверное утверждение:
А вот ни фига. Это утверждение равносильно следующему: "если одна точка тела движется со скоростью v, то и другие точки этого теле тоже движутся со скоростью v".
В том, что это фигня, вы можете убедиться не вставая со стула. Просто кивните головой. Это будет вращательное движение, и разные точки головы будут двигаться с разной скоростью.
С колесом ровно то же самое: оно вращается (ну и до кучи перемещается поступательно вместе с поездом), поэтому разные его точки по жизни движутся с разными скоростями. Ну и так уж получается, что сложение мгновенной (!) скорости точки на ободе колеса с постоянной поступательной скоростью движения поезда как целого, вместе со своими колёсами, для некоторых точек колеса даёт мгновенную скорость, равную нулю.
Просто примите тот факт, что это именно мгновенная скорость, и она постоянно меняется. Сейчас ноль - а в следующий миг уже не ноль.
2
Дорога тоже движется, согласно теории относительности Эйнштейна. Относительно земной оси все движется. В том числе и колеса поезда. Люди, сидящие без движения в поезде, тоже движутся и относительно железнодорожного полотна (вместе с поездом), и относительно земной оси. В движении - жизнь!
2
Это в идеализированной модели соприкосновение ограничивается одной точкой. А в реальности металл рельса и колеса деформируется. В результате образуется небольшая, но все же вполне измеримая площадка, через которую между колесом и рельсом передается усилие.
Михаиллл
[9.1K]
В реальности образуется, конечно. Но с точки зрения математики круг не может прикасаться к прямой двумя точками.— 12 лет назад
Algen
[34.7K]
А с точки зрения математики вам не нужно объяснять механизм передачи усилия. Достаточно просто постулировать, что оно передается.— 12 лет назад
Михаиллл
[9.1K]
Колесо и рельса это для понятливости, что ли :) Вопрос больше математический, конечно :)— 12 лет назад
IGOR PROKHOROV
[13.2K]
Михаил, Вам Митрофанов очень правильно всё объяснил. Ваша ошибка состоит вот в этом утверждении "Если одна точка колеса не движется, то и остальные точки колеса тоже стоят на месте". Такое утверждение справедливо для чисто поступательного движения, но не для вращательного. Возьмите колесо и начните вращать его вокруг не центральной оси, а вокруг точки, лежащей на самом ободе. Тогда эта точка будет неподвижной, а все остальные будут двигаться. С паровозным колесом именно это и происходит, просто точка вращения постоянно смещается.— 12 лет назад
Михаиллл
[9.1K]
IGOR PROKHOROV, готов согласиться с Вами в том, что в момент касания рельсы колесо движется вокруг точки касания. Но колесо (или круг, с точки зрения математики) не резиновое, и как одна точка может быть неподвижной, а все остальные двигаться? Вот этого я не пойму и всё :)— 12 лет назад
Algen
[34.7K]
Как раз именно при вращении одна точка может быть неподвижной. Она называется центром вращения. Рекомендую внимательно посмотреть вот это видео: http://www.youtube.com/watch?v=ExI5UCW1AUY— 12 лет назад
все комментарии (еще 1)
комментировать
2
Добавочный рисунок к моему ответу. Траектория движения любой точки обода относительно рельса.
1
Никакого парадокса нет. Надо рассматривать движения не отдельных точек поезда, некоторые из которых могут двигаться даже назад относительно рельса (например некоторые точки реборды колеса), а движение центра масс поезда относительно рельса.
0
Если вопрос чисто математический, то у вас должна быть определена метрика на прямой и окружности и построено непрерывное отображение одного на другое. Если метрика в обоих случаях соответствует евклидовой длине, вы получите обычную модель катящегося колеса. Можете считать, что отметки длины — это бесконечно малые зубчики на прямой и окружности, которыми они сцеплены.
0
Вообще-то на колесе поезда есть точка - которая движется против хода поезда! И парадокса нет! Поэтому точка которая стоит на месте и не движется - также не вызывает ни каких парадоксов. Парадокс - это плод плохого образования и малой грамотности!
