Как решить задачу на совместную работу Али/Бабы (известны разности сроков)?

На самом деле задача решается гораздо проще, чем её изначально решил я. Я сначала решил чрезвычайно заумно, невероятно тяжёлым путём.

Поэтому я решил свой старый ответ удалить. Да простит мне общество моё деяние! И написать новый ответ. Спасибо пользователю Vasil Stryzhak, который немножко меня натолкнул, и я наконец разобрался. Действительно, городить огород было излишним.

При совместной работе складываются не сроки, а производительности (скорости, проще говоря).

Главное в данной задаче — верно выбрать неизвестное. Нужно обозначить за икс совместный срок, т. е. время, за которое Али и Баба справятся вместе. Тогда общая производительность равна 1/x. Ведь производительность равна работе, делённой на срок её выполнения, а работу в подобных задачах всегда принимают равной единичке.

В то же время чему равен срок одного Али? Согласно условию, он равен x + 16. А срок одного Бабы? Он равен x + 9. Соответственно, производительность (скорость) Али равна 1/(x + 16), а производительность Бабы равна 1/(x + 9).

Значит, поскольку совместная производительность равна сумме производительностей Али и Бабы, то уравнение таково:

1/(x + 16) + 1/(x + 9) = 1/x.

Надо бы обе части его умножить на икс (икс не равен нулю). Получится:

x/(x + 16) + x/(x + 9) = 1;

x/(x + 16) + x/(x + 9) – 1 = 0. Единицу перенесли влево, при этом у неё поменялся знак.

Нужно привести всё к общему знаменателю. Для первой дроби допмножитель равен x + 9, для второй он равен x + 16 и для отрицательной единицы допмножитель равен (x + 16)(x + 9). А знаменатель мы после приведения дробей просто проигнорируем, вот и всё. Важны только числители, с ними и поработаем.

x(x + 9) + x(x + 16) – (x + 16)(x + 9) = 0;

x² + 9x + x² + 16x – (x² + 25x + 144) = 0;

2x² + 25x – x² – 25x – 144 = 0;

x² = 144.

Отсюда x = √(144) = 12. Ясно, что икс — это срок совместной работы, а срок не бывает отрицательным.

Теперь уже легко найти срок Али (он равен x + 16 = 12 + 16 = 28 дням) и срок Бабы (он равен x + 9 = 12 + 9 = 21 дню).

Все такие задачки, как и задачки на наполнение бассейна через сонм труб, решаются одинаково: через производительность трубы (в рассматриваемом случае – через производительность чувака).

Производительность, понятное дело, - это сколько воды наливает/выливает труба за единицу времени, или сколько полезных попугаев выполняет за единицу времени имярек. Ну вот пусть у нас производительность Али (в единицах "чего-то там в день") составляет А, а производительность Бабы за то же время – Б. Ясное дело, что время, за которое выполнит работу тот или другой, - это соответственно 1/А или 1/Б. А оба вместе выполнят её за 1/(А+Б). Тогда имеем систему уравнений:

1/А = 1/(А+Б) + 16

1/Б = 1/(А+Б) + 9

Это система из двух уравнений с двумя неизвестными, и её решение как раз и даст ответ.

Предуведомление (ну то есть уже постуведомление): формулировка вопроса – "как решить". Вот ровно на это я и ответил. А что получится в ответе – это уже другой вопрос…

Давайте отложим (без соблюдения масштаба) на числовой оси следующие отметки (С - время работы обоих, Б - время работы Бабы, А - время работы Али):

0------С--9--Б--7--А,

при этом известно из условия задачи, что СБ = 9, СА = 16, откуда БА = 7.

Достаточно определить 0С, чтобы узнать искомое остальное (0Б и 0А).

Каков же может быть порядок значения 0С? Грубо, очень грубо, это может быть среднее арифметическое от СБ и СА:

(16 + 9) / 2 = 12.5,

поскольку эта задача явно целочисленная, то кандидатов у нас два числа 13 и 12.

Давайте их проверим.

а) 13 + 9 = 22, 13 + 16 = 29,

1/13 - 1/22 - 1/29 = - 0.0030142272, не подходит, но довольно близко, есть шанс на второй вариант.

б) 12 + 9 = 21, 12 + 16 = 28,

1/12 - 1/21 - 1/28 = 0, сошлось.

Ответ на задачу: 1)28, 2)21 и 3)12.