Как проверить алгеброй гармонию?

Записать гамму: до, ре, ми, фа, соль, ля, си, до - в частотах (в герцах).

Для простоты расчетов начнем с "ля" малой октавы:

ля - 220.00

си - 246.94

далее для 1-й октавы:

до - 261.63

ре - 293.67

ми - 329.63

фа - 349.23

соль - 349.23

Теперь проверим "гармонию":

ля - 440.00 = 220 х 2 (октава).

От ля малой октавы до ля 1-й октавы - 12 ступеней (12 - дюжина - особенное число "гармонии").

Частота любого тона рассчитывается по формуле: f(n) = f(0)х2**(n/12), где n - номер ступени, отсчитывая от эталонной ноты (с частотой f(0)). Такой строй называется: равномерно темперированный строй.

Далее "гармония" также подчиняется алгебре (исследует отношение частот):

1:1 и 1:2 - унисон и октава,

2:3 и 3:4 - квинта и кварта,

4:5 и 5:6 - большая и малая терции

Далее идут некоторые отличия равномерно темперированного и натурального гармонических строев.

Древние греки легко строили гамму используя такие понятия, как среднее арифметическое и среднее гармоническое. Пусть у нас есть 1-я струна (частота f1) и 3-я - на октаву выше (f3=2хf1). Пусть надо найти частоту 2-й струны - квинты. Ответ: f2 = (f1+f3)/2 = 3f1:2. А длина струны квинты будет равна среднему гармоническому длин струн тоники (1-я струна) и её октавного повторения (2-й Закон Пифагора). Если взять среднее гармоническое частот 1-й и 3-й струн, то получим новый тон - кварту: f4 = 2f1xf3 : (f1 + f3) = 4f1:3.

Гармония природных явлений отражается в математическом "золотом сечении"(при делении отрезка на две части большая часть относиться к меньшей так же, как и большая ко всему отрезку) и в универсальном числовом ряде Фибоначчи. Числа Фибоначчи-это последовательность чисел, в которой каждое следующее число равно сумме двух предыдущих: 0, 1,2,3,5,8,13,21,34...В этой последовательности чисел проявляются следующие закономерности :отношение каждого последующего числа к предыдущему стремиться к 1,618;а предыдущего к последующему к 0,618. Если взять шаг через одно число и разделить последующее на предыдущее, то получим число 2,618(34:13=2,615), если наоборот-0,382(13:34=0,382). Таким образом, с помощью чисел Фибоначчи получены коэффициенты Фибоначчи-0,618,0,382, 0,236, 1,618, 2,618...

Примеры коэффициентов "золотого сечения" можно найти в природе:увеличение шага спирали у раковины-1,618, у цикория рост("выброс") листьев с шагом 1,618.