Раздел 1 [Действительные числа]
/Тема/ «Понятие развития числа»
1°
Натуральные числа - числа, используемые при счёте. (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0)
Натуральные числа, им противоположные и нуль называются целыми числами.
Целые числа и дроби называются рациональными числами.
Иррациональное число — выражает длину отрезка, несызмеримо с единицей масштаба.
Рациональные и иррациональные числа, взятые в совокупности называются действительными или вещественными.
Цифры, которые мы записываем числа принято называть арабскими (или индийскими)
2° Римские цифры
I | V | X | L | C | D | M |
———————————————————————————
1 | 5 | 10| 50|100|500|1000
При записи чисел римскими числами руководствуются следующими правилами:
*Если меньший знак пишется после большого, то его прибавляют к большему числу
*Если же перед большим — вычитают.
1) IX — 9
2) XIX — 19
3) XLVIII — 48
4) XCIX — 99
5) CDLXXXVI — 486
6) DCCCXVII — 817
7) MCMXV — 1915
2° Название больших чисел
•Миллион 1 000 000
•Миллиард 1 000 000 000
•Триллион 1 000 000 000 000
•Квадриллион 1 000 000 000 000 000
•Квинтиллион 1 000 000 000 000 000 000
•Секстиллион 10²¹
•Сентиллион 10²⁴
/Тема/ Абсолютная погрешность
Модуль разности между точным числом x и его приложённым значением a называется абсолютной погрешностью приближённого значения числа x и обозначается через á (Альфа), то есть |x-a|=á
Число а называется приближённым значением точного числа x до ∆a, если абсолютная погрешность приближённого значения a не превышает ∆a, то есть |x-a|≤∆a
Число ∆a называется границей абсолютной погрешности приближённого числа a. Существует бесконечное множество чисел ∆a, удовлетворяющих приведенному определению, поэтому на практике стараются подобрать возможно меньшее и простое по записи число ∆a
По известной границе абсолютной погрешности ∆a, находятся границы в которых заключено точное значение числа x
(x=a±∆a)←→(a+∆a)
I.
Даны приближённые значения числа x=⅔; 1) a=0,6; 2) a=0,66; 3) a=0,67. Какое из этих трёх приближений является лучшим?
*Находим
1) а́=|⅔-0,6|=|2/3- 3/5|=1/15
2) |2/3-0,66|=|2/3 - 33/50|=1/50
3) |2/3-0,67|=|2/3-67/100|=1/300
Лучшим приближением числа x является 3) a=0,67
II.
Длина детали x (см) заключена в границах 33≤x<34. Найти границу абсолютной погрешности измерения детали.
*Примем за приближённое значение длины детали среднее арифметическое границ a=(33+34)/2=33,5 (см)
Тогда граница абсолютной погрешности приближённого значения длины детали не превзойдёт 0,5 (см). Величину ∆a можно найти и как полуразность верхней и нижней границ, то есть ∆a=(34-33)/2=0,5 (см)
Длина детали x, найденная с точностью до ∆a=0,5
33,5-0,5≤x≤33,5+0,5; x=33,5±0,5 (см)
III.
1)
x=0,8
a=1
|x-a|=á
|0,8-1|=0,2
á=0,2
2)
x=7,6
a=8
|x-a|=á
|7,6-8|=0,4
á=0,4
3)
x=563,58
a=565
|x-a|=á
|563,58-565|=1,42
á=1,42
4)
x=19,3
a=19
|x-a|=á
|19,3-19|=0,3
á=0,3
IV.
∆a=0,5
a=386
x-a=2
385,5-0,5≤x≤385,5+0,5
x=385,5±0,5
|x-a|≤∆a
|x-a|≤0,5=>x=385,5
Тема «Верные цифры числа»
Цифра m приближённого числа a называется верной в широком смысле, если граница абсолютной погрешности числа a не превосходит единицы того разряда, в котором зарывается цифра m.
Цифра m приближённого числа a, называется верной в широком смысле, если граница абсолютной погрешности числа a не превосходит половины единицы того разряда, в котором записана цифра m.
Значащими цифрами приближённого числа называются все его верные цифры кроме нулей стоящих перед первой цифрой (слева на право)
Пример 1.
1) 0,03589
2) 10,4920
3) 0,00456200
Значащие цифры чисел:
1) 3589
2) 104920
3)455200
Пример 2.
Указать верные цифры в широком смысле следующего числа
1)3,73±0,056
∆a=0,056
0,056>0,001
0,056>0,01
0,056<0,1
Верные цифры: 37
Пример 3.
Найти границу абсолютной погрешности приближённого значения 0,1968 числа x, все цифры которого верны в строгом смысле.
*Граница абсолютной погрешности в строгом смысле равна половине единицы последнего разряда
0,1968
0,0001:2=0,00005
∆a=0,00005
Тема Относительная погрешность
Относительной погрешностью ś приближённого значения a числа x называется отношение абсолютной погрешности а́ этого приближения к числу а
ś=á/a
É (эпсилон)
Число Е́ называется границей относительной погрешности
Границей относительной погрешности Е́а приближённого значения а называется отношение границы абсолютной погрешности śa к модулю числа a.
É(a)=∆a/m
Если меньшая граница относительной погрешности тем число точнее.
Тема Действия с приближёнными знаниями чисел.
II
Определение чисел.
Чтобы округлить число до единицы определённого разряда, отбрасывают все цифры, записанные после цифры этого разряда, а в целом числе их заменяют нулями.
Правило:
- Если первая (слева) из отбрасываемых цифр меньше пяти, то последнюю оставляемую цифру не изменяют (округление с недостатком)
Например, округлить до сотых: 1,28|351≈1,28
Если первая отбрасываемая цифра больше пяти или равна пяти, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу (округление с избытком).
Например, округление до десятых:
7,50497≈7,5050
III
Приближённые вычисления с применением правил подсчёта цифр.
- При сложении и вычитании в результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их имеет приближённое данное, содержащее наименьшее число десятичных знаков.
- При умножении и делении в результате также сохраняют столько значащих цифр сколько их имеет приближённое данное, содержащее наименьшее число значащих цифр.
- При возведении в квадрат и куб в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число.
- Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков при действиях первой ступени (сложение и вычитание) или более значащих цифр при действиях второй с третьей ступеней (умножение, деление, возведение в степень). Чем другие, то их предварительно округляют сохраняя только одну лишнюю цифру.
Примеры. Найти:
а) сумму приближённых чисел
138; 524; 873; 0,64; 5,083
Согласно правилу четвёртому предварительно округлим
138,524≈138,52
87,3≈87,30
5,083≈5,08
138,52+87,30+0,64+5,08=231,54≈231,5
б) произведение приближённых чисел 15,79 и 3,64
15,79×3,64=57,4756≈57,5
в) выражение при возведении в степень приближённого числа
3,6²=12,96≈13
0,7³=0,343≈0,3
Найти:
а) разность приближённых чисел
18,328; 5,4336; 0,5; 1,12
18,328≈18,33
5,4336≈5,43
0,5≈0,50
18,33-5,43-0,50-1,12=11,28
11,28≈11,3
б) Частное чисел
8,61 и 8,35
8,61:2,35=3,663829...
3,663829≈3,66
в) возвести в степень
7,2²=5,184≈52
0,8³=0,512≈0,5
Тема Комплексные числа
Комплексным числом называется упорядоченная норма вещественных чисел (a,b)
Если a≠b, то (a,b)≠(b,a)
Любое комплексное число a,b можно представить ввиде
(a,b)=a+bi, где a+bi алгебраическая форма комплексного числа a и b — действительные числа, i — называется мнимой единицей определяемой i²=-1
