В каких случаях возникают силы магнитного взаимодействия?

В случае движения электрических зарядов.

Магнетизм есть чисто релятивистский эффект. Не в том смысле, что он наблюдается только при скоростях порядка скорости света, а в том, что для возникновения магнитных сил требуется движение зарядов. Если два заряда неподвижны друг относительно друга, между ними есть только электростатическое взаимодействие. Но если есть относительное (!) движение - появляются и магнитные силы.

Отмазка: на уровне элементарных частиц возможно и "непосредственное" магнитное взаимодействие, потому что у некоторых таких частиц есть собственный магнитный момент - спин. Это их фундаментальное свойство, и наличие магнитного момента не связано с движением зарядов. Он там просто есть. Ну а два магнитных момента (магнитные диполи) могут друг с другом взаимодействовать. Ровно так получается сверхпроводимость - электроны объединяются в пары за счёт взаимодействия своих спинов, и такая квазичастица может перемещаться по кристаллической решётке, не обращая на неё внимания.