Даша, что задумала натуральное число X, у которого есть делители, кратные 3 и делители, кратные 4
значит число Х также кратно 3 и кратно 4 (а значит также кратно 2)
таким образом число Х равно:
Х = 3ᵝ * 2ᵞ * Z
где Z - некоторое натуральное число, которое не кратно 2, 3 и 4
пусть число Z имеет k различных делителей
тогда по известной Теореме о кол-ве делителей: число Р = 2ᵞ * Z имеет:
(γ + 1) * k различных делителей
умножаем каждый из указанных делителей числа Р на числа:
3¹, 3², ...3ᵝ
получаем все возможные варианты делителей числа Х, которые кратны 3
таким образом, кол-во делителей числа Х, которые кратны 3 будет равно:
(γ + 1) * k * β
аналогично, получаем, что число Q = 3ᵝ * Z имеет:
(β + 1) * k различных делителей
умножаем каждый из указанных делителей числа Q на числа:
2², 2³ ...2ᵞ
получаем все возможные варианты делителей числа Х, которые кратны 4
таким образом, кол-во делителей числа Х, которые кратны 4 будет равно:
(γ - 1) * (β + 1) * k
теперь вспоминаем, что количество делителей, кратных 3, на 1 больше, чем количество делителей, кратных 4:
(γ + 1) * k * β - (γ - 1) * (β + 1) * k = 1
отсюда получаем:
- k = 1 (а это значит, что Z = 1 т.к один делитель имеет только число "1")
- γβ + β - (γβ + γ - β - 1) = 2β - γ + 1 = 1
- значит: γ = 2β
таким образом мы доказали, что число Х равно:
Х = 3ᵝ * 2ᵞ = 3ᵝ * 2²ᵝ = 12ᵝ
