Можно решить данную задачу и не методом подбора. Хотел бы поделиться своим методом решения, хоть и понимаю, что для школьников он может оказаться сложным. Наверное, это зависит от класса, от специализации школы (я учился в лицее с математическим уклоном) и от уровня развития самого ученика.
Понятно, что однозначное число у нас быть не может, т. к. если к максимальному однозначному числу 9 прибавить сумму его цифр, что тоже 9, то получится 18. С другой стороны, трёхзначное число уже само по себе трёхзначно и от сложения со своей суммой цифр только увеличится, а у нас должно получиться 52.
Значит, это двузначное число. Пусть первая цифра в нём равна x, а вторая — y. Всё число я запишу как <xy>. И это раскрывается в виде 10x + y.
Имеем уравнение:
<xy> + x + y = 52;
10x + y + x + y = 52;
11x + 2y = 52.
Отсюда видно, что 11x = 52 – 2y. Икс — это однозначное натуральное число, равно как и игрек. Делаем закономерный вывод о том, что (52 – 2y)⋮11. [Как известно, три точки по вертикали означают "кратно", т. е. делится без остатка.] Но если разность натур. чисел a и b нацело делится на некое натур. число m, то это равносильно тому, что числа a и b дают одинаковые остатки при делении на m. Говорят, что числа a и b сравнимы по модулю m.
Итак, в нашем случае:
(52 – 2y)⋮11;
52 ≡ 2y (mod 11);
2y ≡ 8 (mod 11) <ведь число 52 при делении на 11 даст остаток 8 — такой же, как и само число 8>;
y ≡ 4 (mod 11).
Единственное однозначное число, которое при делении на 11 даст остаток 4, — это 4.
Значит, y = 4.
Осталось найти икс: x = (52 – 2y) : 11 = (52 – 2 * 4) : 11 = (52 – 8) : 11 = 44 : 11 = 4. Итак, икс тоже равен четырём.
А загаданное Димой число равно 44.
