Как определить падеж у слова проверка?

Начнём с конца - определим склонение. Именно склонение определяет окончание существительных в разных числах и падежах.

Проверка - она моя, женский род. В современном русском языке имена сущ-е ж. р. относятся либо к первому, либо к третьему склонению. Третье отпадает, поскольку все слова должны оканчиваться на Ь. У нас окончание -а, следовательно, сущ-е "проверка" первого склонения.

Далее смотрим на предлог. Предлог "по" чаще употребляется с дательным падежом (чему? кому?). Поставим вопрос - по проверке, по чему? Это дательный падеж.

Важно - имена сущ-е 1-го скл. ж. р. единственного числа в д. п. имеют окончание -е. Это относится и к твёрдому, и к мягкому варианту, напр., вода - по вод/е, земля - по земл/е.