Как доказать, что из медиан треугольника можно составить треугольник...?

Пусть дан ∆ABC и в нем 3 медианы AE; BF; CG.

Достроим ∆ABC до параллелограмма ACBD (AD=BC, AD||BC и BD=AC, BD||AC) => ∆ABC = ∆BAD

(Почему я так решил сделать? Ну чтобы попытаться построить ? из медиан, самое простое это параллельно перенести конец одной медианы к началу другой. А делать это проще по параллельным прямым).

Таким образом. Поскольку ∆ABC = ∆BAD, то в этих треугольниках равны любые соответсвующие элементы. => Медиана BH треугольника BAD равна медиане AE треугольника ABC.

Теперь посмотрим на точки H и F - они являются серединами сторон AD и AC соответсвенно.

Тогда HF - средняя линия ∆DAC и по свойству средней линии HF= DC/2. Но DC - диагональ параллелограмма ACBD и в точке G другой диагональю делится пополам. То есть CG = DC/2

Таким образом получаем HF = CG

В результате получили ∆HBF составленный из отрезков равных трем медианам ∆ABC. Первая часть задачи доказана. Теперь посчитаем соотношение площадей

Пусть S₁ - Площадь исходного ∆ABC, причем заметим, S₁ - будет площадью и равного ∆BAD

S₂ - площадь ∆BHF, построенного из медиан.

Площадь S₂ состоит из площадей S∆BFK + S∆BHK

В свою очередь S∆BFK = S∆ABF - S∆AFK

S∆ABF = S∆ABC/2 = S₁/2

(так как у ∆ABF сторона AF в 2 раза меньше стороны AC в ∆ABC и общая вершина B, то есть высота одна и та же, то площади относятся как относятся стороны)

S∆AFK = S∆ABC/8 = S₁/8

(Так как AK = AG/2, AG = AB/2 => AK = AB/4; AF = AC/2 и S∆ABC = AB•AC•sin(A)/2; S∆AFK = AK•AF•sin(A)/2 = (AB/4)•(AC/2)•sin(A)­/2 = SS∆ABC/8)

Получаем S∆BFK = S₁/2 - S₁/8 = 3•S₁/8

Аналогично рассуждая получим S∆BHK = S₁/2 - S₁/8 = 3•S₁/8

Таким образом получим S₂ = 3•S₁/8 + 3•S₁/8 = 3•S₁/4

И отношение площади ∆BHF к площади ∆ABC будет S₂/S₁ = 3/4

Ответ: отношение площадей: 3/4