Как доказать, что неравенство переходит в равенство (см.)?

Слева и справа положительные числа, поэтому при возведении в квадрат неравенство не изменится.

(√((a+b)²+16))² ≤ (√(1+a²)+√(9+b²))²

(a+b)²+16 ≤ 1+a² + 2√(1+a²)•√(9+b²) + 9+b²

a² + 2ab + b² + 16 - 1 - a² - 9 - b² ≤ 2√((1+a²)•(9+b²))

ab + 3 ≤ √((1+a²)•(9+b²))

Справа положительное число, а слева может быть 2 варианта:

1) ab + 3 ≤ 0

ab ≤ -3

тогда ab+3 ≤ 0 < √((1+a²)•(9+b²)) Неравенство выполняется

2) ab > -3

В этом случае снова можем возвести в квадрат

(ab+3)² ≤ (1+a²)•(9+b²)

a²b² + 6ab + 9 ≤ a²b² + 9a² + b² + 9

(3a)² - 6ab + b² ≥ 0

(3a-b)² ≥ 0

Слева квадрат числа - он всегда положителен при любых значениях.

Таким образом получим верное тождество при любых а и b

Теперь второй вопрос: при каких a и b будет равенство.

Решаем неравенство со знаком равно и получим

(3а + b)² = 0

3a-b=0

b = 3a