Давайте решать вопрос методом исключения.
Итак, у нас имеются топонимические названия:
Гиргис - это, как утверждают исторические источники, река такая с древним названием. Ныне называется Северный Донец.


Как известно, река Дон не является притоком какой-то реки, она впадает прямиком в Азовское море. Значит, Гиргис не подходит.
Борисфен - греческое название реки Днепр.


Тирас - тоже река. Вам не кажется созвучным слову Тирас название города Тирасполь (город на Тиросе). А как известно, Тирасполь стоит на реке Днестр.
Остается:
Танаис.
Именно так древнегреческие колонисты называли реку Дон.
Но вот что интересно, скандинавские племена видимо не различали Дон и его приток Северный Донец, поэтому в их понимании Дон был тоже Гиргис.
Античные времена не отличались точной картографией.