Как вычислить погрешность трисекции угла 60⁰?

По ряду вполне объективных причин, я не успеваю выставить свой ответ так же быстро, как некоторые авторы. Поэтому отчасти повторю решение simpl, но постараюсь посмотреть на эту задачу несколько под другим углом зрения. В споре авторов о методе решения, голосую за аналитическую геометрию.Зачастую, получить сразу числовой ответ значительно проще, чем прийти к этому же через невообразимое количество треугольников.

Эта задача не имеет целью предоставить развернутый ответ преподавателю, поэтому по возможности использую готовые формулы и воспользуюсь возможностями компьютерной техники.

Позволю себе несколько дополнить чертеж автора.

На чертеже появились новые точки S и F. Поскольку точка D не выполнит трисекцию угла, будем считать, что точки S и F разделят дугу АВ на три части. К сожалению нет возможности нарисовать их в масштабе, поскольку отклонение точки F от точки D настолько незначительно, что при пропорциональной ее нанесении они просто сольются на чертеже. Поэтому условно считаем что углы "1", "2" и "3" равны, так же как и равны между собой дуги AS, SF и FB.

Для начала решим предложенную задачу.

ЗАДАЧА №1

Задача автора.

Длина хорды для единичной окружности равна.

АВ=2sin(Ал/2)=2sin(60/2)=2*(1/2)=1 Ал-это угол альфа.

Удаление хорды от центра окружности.

ОР=cos(Ал/2)=cos(60/2)=sqrt(3)/2

Определим координату точки "Е"

Е(АВ/2-АВ/3+1;sqrt(3)/2)

Е(1/2-1/3+1;sqrt(3)/2)

Е(7/6;sqrt(3)/2)

Решаем систему уравнений для двух единичных окружностей, с центром в точках "О" и "Е"

x^2 + y^2 = 1

(x-7/6)^2+(y-(sqrt(3)/2))^2=1

Составим уравнение прямой проходящей через точки "О" и "D"

y=(0.985/0.174)*x=5.6609x

Производная от этой функции равна 5.6609. Следовательно, угол между OD и осью Х будет равен.

arctg(5.6609)=1,39594979466 радиан=79,982031 градуса. Что отличается от 80 градусов на 0,0179683 градуса. Получилась неожиданно маленькая величина. Но если говорить о трисекции, то углы "1" и "3" будут равны 20-0,0179683 градусов, в тоже время угол "2" будет равен 20+2*0,0179683. То есть он будет выполнен менее точно.

Если принять угол 20 градусов за 100%, тогда отклонение значения (погрешность), для угла "3" составит 0,08984%. Этим спокойно можно пренебречь.

И здесь возникает резонный вопрос...

ЗАДАЧА №2

Какова динамика изменения погрешности угла DOB при изменении угла альфа от нуля до 180 градусов?

Расчет проводился по тем же самым формулам, численным методом. Получился вот такой график. Где по оси Х угол альфа в градусах, а по оси Y абсолютная погрешность в градусах (оранжевый) и относительная в процентах (красный). Результат первоначально ошеломил.

Тригонометрические функции, как правило, плавные. Откуда такие скачки? Дело в том, что данная математическая модель оказалась очень чувствительна к изменению значений синуса и косинуса в младших разрядах. Видно, что до пересечения с осью Х, скачки значительные, а после сглажены. Если рассмотреть график при альфа =180 град., то окружности пересекаются в "адекватной" зоне, где тригонометрические функции меняют свои значения в старших разрядах.

При малых углах, значение синуса будет меняться только в младших разрядах и будет округлено вычислительной техникой. То есть при разных углах будет одно и тоже значение синуса. Это и вызовет нестабильность линий.

Но тем не менее очевидно, что до пересечения с осью Х отклонения будут незначительные и построенный, таким образом, угол больше искомого. А вот, ниже оси Х построения угла будут меньше расчетного и погрешность велика. Поскольку в данной задаче нельзя доверять вычислительной технике, то возникает вопрос. В какой точке графики пересекут ось Х?

А это произойдет при угле в 60 градусов, когда хорда будет равна радиусу и равна 1. Именно при единице, в математике, функции меняют свои характеристики.

Значит правильным ответом на вопрос будет:

При угле альфа 60 град. погрешность будет нулевой и построения дадут угол точно 20 градусов.

Поскольку разные авторы получили примерно одинаковые ответы, то данные графики можно рассматривать как "томограмму мозга" вычислительной техники, на которой хорошо видна работа механизма округления.

Этим методом можно пользоваться при не ответственных построениях до 60 град. А вот что делать при больших углах?

И здесь возникает следующий резонный вопрос...

ЗАДАЧА №3

Каким должен быть радиус (R3) окружности, центр которой лежит на прямой АВ, проходящей через точку С, что бы она пересекла основную окружность (R1) в точке F?

Будет ли центр окружности (R3) левее или правее точки "С", покажут расчеты.

Вычисляем координаты точек F и C. Составляем уравнения окружностей с центром в этих точках, далее приравниваем их по радиусу.

Получаем уравнение прямой равноудаленной от точек F и C (голубой пунктир). Добавляем в систему уравнение хорды.

Решение дает координату по Х центра окружности (R3). Разница между этой координатой и координатой точки "С" будет радиусом R3.

Из графиков видно, что при любом альфа центр этой окружности будет находиться с правой стороны от точки "С". Ниже картинки для альфа равному 30;60 и 180 градусов.

Представлю маленькую табличку: угол альфа и радиус R3

Отсюда видно,что при малых углах радиус стремиться к нулю, а при больших к 2.33333333334.

И опять же при 60 градусах это почти единица. Это окончательно меня убеждает в правильной трисекции при 60 градусах.

Можно долго спорить о методе расчета, но стоит только "зацепить" иррациональное число, как появится погрешность.

Rafail производил расчет геометрически и "хранил" до последнего свои значения в дробях и корнях. Поэтому его расчеты претерпели меньше округлений и значит ответ получился более приближен к 20 градусам. По всей видимости, для таких "не разрешаемых" задач, это более точный метод. Мой ему респект!

Единственное гарантированное решение для этой задачи, это доказать равенство углов: искомого и построенного из подобия углов, фигур и сторон. Если это вообще возможно!!! Пока это никому не удалось.

Спасибо smog2605 за предоставленное решение и довольно подробное рассмотрение трисекции угла 60⁰. Трудно с Вами не согласиться, при использовании метода координат действительно получить сразу числовой ответ значительно проще. Но это для тех, у кого имеется соответствующие программы. Например, я ввел в Excel формулы для определения координат точек пересечения прямых и окружностей. Теперь достаточно ввести исходные данные, чтобы получить результат. А если начинать с чистого листа, это уже сложнее, плюс содержание большего количества вычислений. Благо машина считает быстро, а как было бы в «ручную». Потому полагаю решение данной задачи с наименьшим количеством действий предпочтительным.

Что-то не так в полученном Вами численном значения угла. Специально пересчитал различными способами, методом координат и треугольников, результат 19⁰,9944062852692, только обнаружил изменения в последней цифре.

Задача разработана специально для БВ и только трисекции угла 60⁰, так как на других углах она плохо «работает».

Для уточнения динамики трисекции при изменении угла альфа от 0 до 180 градусов, вычислил с шагом 0,⁰25 значения абсолютных погрешностей. Ни каких скачков. Плавное возрастание до 44⁰, затем полное снижение до угла 59⁰,118…, далее со сменой знака, погрешность снова равномерно увеличивается. Проверьте программу вычисления. Очевидно, вот этот последний названый угол с бесконечным числом цифр после запятой и делит описанный в задаче метод на три равные секции.

В качестве примера могу предложить довольно простой способ реализации трисекции произвольного угла. В тоже время теоретически он имеет малую погрешность, в пределах изменения угла от 0 до 180⁰ в среднем оставляющую 0,⁰0013.

Из вершины О геометрически заданного угла как из центра произвольным радиусом проводится дуга АВ. Хорда, стягивающая дугу, разделена надвое точкой С. Точка D₁ отделяет 1/4 часть от дуги АВ. Из точки В как из центра проведены две дуги. Одна через точку С до пересечении с дугой АВ в точке С₁. Вторая – через точку D₁, до пересечения хорды в точке D. Через полученные таким способом точки проведены две прямые пересекающиеся в точке Р. Последним построением является проведение трисектрисы угла через точку Р и вершину угла О.

Всё просто:

Воспользуемся простейшими соотношениями аналитической геометрии..

Расположим точку О в начале координат и соответственно её координаты (0,0)..

Найдём координаты точки Е:

Для нахождения по ординате рассмотрим треугольник АОВ и опустим перпендикуляр

из О на сторону АВ. Тогда его длина Н будет равна :

у=Н = ОВ cos 30 = sqrt(3)/2

Координата по абсциссе:

х = СЕ + АВ/6 = 1+ 1/6=7/6(Поскольку от перпендикуляра, определяющего середину АВ до С половина от третьей части)..

Теперь зададим два уравнения окружностей:

х^2 + y^2 = 1

(x-7/6)^2+(y-(sqrt(3)/2))^2=1

Совместное решение этой системы даст две точки пересечения окружностей..

Точка с обоими положительными координатами (xD,yD) - искомая точка D..

Теперь найдём наклон прямой OD:

k=(yD-yo)/(xd-xo)=yD/xD

Наклон прямой ОВ относительно оси абсцисс будет 60 градусов исходя из геометрических соображений, тогда искомый угол будет:

alpha = arctg (yD/xD) - 60..

Величина искомого угла будет примерно 19,5 градусов..

Опустим перпендикуляр из центра О на АВ и обозначим его пересечение с АВ буквой К. Угол ВОК=30°, BК=Sin30°=1/2, а ОК=Cos30°=(?3)/2. Точку пересечения прямой ОD с АВ обозначим буквой Н. Из точки D опустим перпендикуляр на продолжение прямой ОК и обозначим точку его пересечения с ней буквой Р. Из подобия прямоугольных треугольников DРО и НКО следует DР/DО=НК/НО. DО=1, поэтому DР=НК/НО. Угол КОН равен разности 30°-угол НОВ . Угол DОР=arc Sin(DР)=arc Sin(HК). Соединим точки С и О. КЕ=КС+СЕ, КС=ВК-ВС, ВС=1/3. Тогда КС=1/2-1/3=1/6, а КЕ=7/6. ОЕ=?(ОК^2+KE^2)=(?19)/3. Угол КОС=arc Sin(KC)=arc Sin(1/6)=9,594 ...°, угол ВОС = 30°-9,594...° = 20,4...°, угол KCO=90°-9,594...=80,4...° . Из рисунка видно что угол КОН меньше чем КОС поэтому угол ВОН = ВОD больше 20,4...°, что не соответствует результату Rafail . В таком случае абсолютная погрешность погрешность превышает 0,4°, а относительная более 2%. Более точно решить затрудняюсь.