Апофема правильной треугольной пирамиды есть высота её боковой грани SD, она делит сторону основания,например АВ, пополам. Из вершины пирамиды S проведем перпендикуляр SО к её основанию. Точка О будет центром описанной и вписанной окружностей основания. Рассекаем пирамиду плоскостью, проходящей через вершину, апофему и высоту пирамиды. Эта плоскость пройдет также и через боковое ребро SС противоположное апофеме и пересечет основание по прямой DС. Угол SDC по условию равен β. Из прямоугольного треугольника SOD находим высоту пирамиды SО=SD*sin β=l*sin β, а ОD=l*cos β=r - есть радиус вписанной окружности. Стороны основания находим через r, АВ=ВС=СА= r*2*√3=l*(cos β)*2*√3. Площадь боковой грани Sг равна АВ*SD/2=l*(cos β)*2*√3*1/2. Если принять, что SD равна единице, то Sг=√3*(cos β), а вся боковая поверхность Sп= 3*√3*(cos β). Боковое ребро пирамиды SC=SB=SA=√(SО^2+ОС^2), где ОС радиус описанной окружности R находим по формуле R=АВ/√3=2*(cos β), тогда SC=SB=SA= √[(sin β)^2+4*(cos β)^2].
