Начну с инфинитива. Есть глагол «тыкать», а вот глагола «тычить» в русском языке нет. Так что только ТЫКАТЬ.
Далее. Есть два омонима ТЫКАТЬ.
Первый глагол «тыкать» многозначный, и значения его связаны с движениями: вонзать, втыкать, бить, ударять, показывать пальцем и пр. Словарную статью можно посмотреть ЗДЕСЬ, она довольно объёмная.
У этого глагола две парадигмы спряжения: одна с чередованием согласных К и Ч (тычу, тычешь, тычет, тычем, тычете, тычут), другая без такового чередования (тыкаю, тыкаешь, тыкает, тыкаем, тыкаете, тыкают).
Замечу, что в более ранних словарях (Ушакова, Ожегова) варианты с К имеют помету «просторечн.» или «разг.», но современные словари таких помет уже не дают, следовательно, если ещё не так давно формы с Ч были нормой, а с К считались просторечными или разговорными, то в нынешние времена допускаются варианты формообразования в нормированной речи (возможно, это свидетельство того, что рано или поздно нормой станут только формы с К).
Второй омоним разговорный, употребляется в значении «обращаться на ты». По поводу его спряжения составители словарей расходятся во мнении: одни признают только формы с К, другие (Большой толковый) допускают и вариант с чередующейся Ч.
На мой взгляд, у первого омонима нормой являются обе формы 3-го лица единственного числа: ТЫЧЕТ и ТЫКАЕТ (и все словари говорят об этом же).
А вот при образовании форм от второго омонима (обращаться на ТЫ), думаю, надо следовать нормам, данным словарём орфографическим, так как это словарь РАН, поэтому и форма 3-го лица единственного числа здесь возможна одна: ТЫКАЕТ.
То же самое и с повелительным наклонением: у первого омонима формы (не) тычь и (не) тыкай, у второго – (не) тыкай.
Хотя, как видите, есть словари, допускающие и у второго омонима формы с Ч.