Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
1

Как решить задачу о площади поверхности правильной пирамиды?

Квинта [1.2K] 5 лет назад

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L - середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 2 корня из (2/17). Найдите площадь поверхности пирамиды. Я знаю формулу для нахождения площади поверхности пирамиды, она равна сумме площади поверхности боковых граней и площади основания. Площадь поверхности боковых граней равна периметру основания плюс высота пирамиды. Может вам помогут эти формулы.

zlyden [37K]
не мешало бы выложить свой чертёж. в моём чертеже BL и SA не образуют угол. а так задача на чашку кофе.  5 лет назад
stefantar [4.9K]
Продолжите эти отрезки, и они пересекутся.  5 лет назад
Квинта [1.2K]
К задаче нет чертежа  5 лет назад
комментировать
1

О чем спор, непонятно. Ясно, что прямые BL и AS скрещивающиеся. Ну и что? Угол между скрещивающимися прямыми определить несложно, Для этого, нужно одну из них перенести параллельно самой себе так, чтобы обе прямые пересекались в одно точке. Сам я уже старый, всякими чертежными программами не овладел, поэтому не смогу сам начертить необходимый чертеж, но надеюсь, что zlyden не будет возражать, если я воспользуюсь его чертежом. Давайте перенесем AS параллельно самой себе так, чтобы точка А попала в точку В. Проще всего представить себе так. "Приставим к исходной пирамиде еще одну такую же S1A1B1C1D1, но смещенную вправо, т.е. точка A1 совпадет с точкой В, а точка D1 с точкой С. Тогда, соединив точки S1 и L, получим треугольник LBS1 (или LA1S1). Вычислим длины сторон треугольника. Построим проекции точек S/L, S1 на плоскость оснований. Проекциями точек S и S1 будут точки О и О1 (центры квадратов АВСD и А1В1С1D1). Проекцию точки L обозначим точкой М. Проекцией BL будет ВМ, а проекцией AS отрезок АО. АС=4*√(2), А1О1=О1С1=АО=ОС=2*√(2), ОМ=МС=√(2). Введем пространственные оси координат с центром в точке В (А1). Ось Х направим по А1В1 (вправо), ось Y направим по ВС (A1D1) к нам, и ось Я направим вертикально вверх. Обозначим высоту пирамид (OS=O1S1) h. Тогда координаты точек B(A1) (0; 0; 0), S1 (2;2;h)? L ( -1;3;h/2). Вычислим длины сторон треугольника LBS1:

BL= √((-)1^2+3^2+h^2/4)=√(10+h^2/4);

A1S1= √(2^2+2^2+h^2)=√(8+h^2);

LS1= √((2-(-1))^2+(2-3)^2+(h-h/2)^2)=√(10+h^2/4).

Так как BL=LS1, то треугольник LBS1 - равнобедренный. Середину его основания (BS1) обозначим точкой L, очевидно DK=KS1=(√(8+h^2))/2=√(2+h^2/4). Соединим точки L и K. Отрезок LK является медианой (и биссектрисой и высотой треугольника LBS1. LK=√((10+h^2/4)-(2+h^2/4))=√(8).

Угол LBK равен углу LBS1 (назовем его а). Значит tg(a)=√(8)/√(2+h^2/4), а tg^2(a)=8/(2+h^2/4). В то же время нам известно, что tg(a)=2*√(2/17), тогда tg^2(a)=8/17.

Отсюда 2+h^2/4=17, h^2/4=15 h^2=60, и h=√(60). Рассечем пирамиду вертикальной плоскостью, проходящей через вершину и середины противоположных сторон основания. В сечении получим равнобедренный треугольник, боковые стороны которого являются апофемами пирамиды. Проведя в нем высоту и рассматривая получившиеся прямоугольные треугольники получаем, что апофема равна √(h^2+(4/2)^2)=√(60+4)=8. Тогда площадь одной боковой грани равна 4*8/2=16, всех четырех боковых граней 16*4=64, площадь основания равна 16, а полная площадь 80.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
1

Кстати, Вы неправильно указали формулу нахождения боковой поверхности правильной пирамиды, так как она равна половине произведения периметра основания на апофему.

Эту задачу можно решить двумя способами, их я и приведу в своём решении.

1 способ.

1) Так как пирамида правильная и четырехугольная, то в основании лежит правильный многоугольник - квадрат.

2) Дополнительное построение: LO.

Рассмотрим треугольник ASC: SL=SC, AO=OC, значит, LO - средняя линия треугольника ASC.

Следовательно, по свойству средней линии треугольника LO=0,5SA и LO||SA.

(тангенс угла между прямыми BL и SA)=tgAMB=tgOLB (так как (угол AMB)=(угол OLB) как соответственные углы при пересечении параллельных прямых LO и SA секущей BM.

3) Так как прямая AC проведена в плоскости (ABC) через основание наклонной LO O перпендикулярно к её проекции на эту плоскость OB (так как диагонали в квадрате пересекаются под прямым углом), то по ТТП (теореме о трёх перпендикулярах) прямая AC перпендикулярна и к самой наклонной OL.

4) Рассмотрим треугольник AOB: AO=OB => треугольник AOB - равнобедренный по признаку.

По теореме Пифагора из треугольника AOB ((угол AOB)=90, так как в квадрате диагонали пересекаются под прямым углом):

AO^2+OB^2=AB^2

2OB^2=16

OB^2=8

OB=(2 корня из 2) ((-2 корня из 2) не подходит по смыслу задачи)

5) tgOLB=OB/LO

tgOLB=(2 корня из 2/17)=(корень из 8/17)

tg OLB=(корень из 8)/LO=(корень из 8/17)

=> LO=(корень из 17)

Так как LO=0,5SA, то SA=2LO=(2 корня из 17)

6) Дополнительное построение: SK перпендикулярно AB.

Рассмотрим треугольник ASB: AS=SB => треугольник ASB - равнобедренный по признаку.

По теореме Пифагора из треугольника ASB ((угол AKS=90), так как SK - медиана, биссектриса и высота, проведенная к основанию):

SK^2=SA^2-AK^2

SK^2=68-4=64

=> SK=8 (-8 не подходит по смыслу задачи)

7) Sполн=Sосн+Sбок

Sосн=4*4=16 (так как ABCD - квадрат)

Sбок=1/2*Росн*SK=1/2*16*8=64

Sполн=Sосн+Sбок=16+64=80

2 способ.

Так как пирамида правильная, то двугранные углы при основании пирамиды равны.

Следовательно, в таком случае существует следующая зависимость площадей основания и боковой поверхности:

Sосн=Sбок*cos(альфа), где (угол альфа) - угол наклона боковой грани к основанию, то есть двугранный угол.

1) SO - перпендикуляр

SK - наклонная

OK - проекции наклонной

Так как прямая AB проведена в плоскости (AOB) через основание наклонной SK K перпендикулярно к наклонной SK, то по обратной ТТП (теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах) прямая AB перпендикулярна и к ее проекции OK.

2) Рассмотрим треугольник KOB: (угол OKB)=90, KB=2, OB=(2 корня из 2).

По теореме Пифагора из треугольника KOB:

OK^2=OB^2-KB^2

OK^2=8-4=4

=> OK=2 (-2 не подходит по смыслу задачи)

cos(альфа)=cosSKO=OK/SK=2/8=0,25

3) Следовательно, Sосн=Sбок*cos(альфа)

Sполн=Sосн+Sбок

Sосн=4*4=16 (так как ABCD - квадрат)

Sбок=Sосн/cosSKO=16/0,25=64

Sполн=Sосн+Sбок=16+64=80

Ответ: 80.

текст при наведении

(Прошу прощения за перевёрнутое изображение)

smog2605 [14.2K]
Хочу дать совет, как выставлять перевернутое изображение. Открываете в файл в виндоусовской (7) программе просмотр изображений и поворачиваете его при помощи нижних стрелочек в нужное положение. Система запоминает, что данный файл имеет право располагаться только так и не как иначе. После этой процедуры при загрузки на БВ кадр будет повернут нужным для вас образом.  5 лет назад
stefantar [4.9K]
Просто я с планшета сижу, и иногда бывают такие метаморфозы.  5 лет назад
комментировать
1

Приходится отвечать на вопрос. Не вижу, откуда взято, что BL и SA принадлежат одной плоскости? По чертежу они не пересекаются, а скрещенные.

текст при наведении

stefantar [4.9K]
Действительно, у вас прямые скрещивающиеся. Чертеж неудачный, попробуйте изобразить по другому, буквы переставить.  5 лет назад
zlyden [37K]
как буквы не ставь, суть не изменится. BL и SA всё равно не будут принадлежать одной плоскости.  5 лет назад
stefantar [4.9K]
Посмотрите на мой чертеж в моем ответе.  5 лет назад
zlyden [37K]
бумага всё стерпит. нарисовать - не значит, что в действительности это так.  5 лет назад
stefantar [4.9K]
Все это в действительности так.  5 лет назад
все комментарии (еще 9)
комментировать
0

Нарисуйте рисунок. Прямые пересекаются? У меня - нет.

Прямые могут не пересекаться, даже если они не параллельны.

Проверьте условие. Может, в задаче есть и рисунок? Тогда лучше его выложить.

stefantar [4.9K]
Две прямые, лежащие в одной плоскости и не являющиеся параллельными, не могут не пересекаться.
Данные прямые лежат в одной плоскости и не параллельны.
 5 лет назад
Namenname2 [5.3K]
почему прямые BL и SA лежат в одной плоскости?
если я смогу нарисовать рисунок, где они будут пересекаться, то смогу вам помочь
 5 лет назад
Квинта [1.2K]
К задаче нет чертежа, условие записано верно. У меня тоже прямые не пересекаются.  5 лет назад
Namenname2 [5.3K]
Наверное, в учебнике ошибка.
Обидно, я уже заинтересовалась(
 5 лет назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID