Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
2

Как поделить отрезок на три равные части только с помощью циркуля?

Wale [33.8K] 5 лет назад

без линейки. Дан отрезок АВ найти точки С и D которые точно делят отрезок АВ на три равные части Ответ должен в виде точки которая получается пересечением отрезка с дугой либо касанием дуги этого отрезка. Циркуль нельзя ломать, бумагу не сгибать.

бонус за лучший ответ (выдан): 5 кредитов
Wale [33.8K]
на этом http://forum.academ.­org/index.php?s=a9f4­3044ebb5a559eb41a22d­1c28a01a&showtop­ic=305918&st=15
форуме показано как делить отрезок на 2 части, рекомендую использовать такое же обозначение последовательности действий
 5 лет назад
Wale [33.8K]
УТОЧНЕНИЕ. Результат должен быть получен за конечное число шагов. Перепендикуляр к отрезку или точку на отрезке ближайшую к другой точке с помощью одного движения циркуля построить геометрически точно нельзя.  5 лет назад
smog2605 [13.5K]
В указанной вами ссылке так и не смогли разделить отрезок на 2 части при помощи циркуля.Если конечно не считать касание произвольной окружности с отрезком, что даст практически очень большую погрешность. Ну а вообще если мы нарисуем пятигранник (нижняя грань горизонтальна), то проекция верхних граней (крыша домика) на вертикальную ось будет составлять 2/3 от радиуса (то есть отрезка АВ)для описанной окружности. Но опять же, необходимо иметь линию диаметра ( а у нас только радиус АВ), перпендикуляр и делить отрезок по полам. Без линейки и карандаша это очень проблематично. А вы уверены что решение существует?
Рисование пятигранника : http://chertezhi.whi­te-bird.ru/chertezhi­_view_post.php?id=12
 5 лет назад
Wale [33.8K]
геометрически касание окружности прямой, дает одну конкретную точку. И если требуется касание то эта точка и будет ответом. А на счет существования решения я Вашего вопроса не понял. Я же дал ответ  5 лет назад
комментировать
2

Сечас попробую объяснить все на пальцах, как получится.

Если следовать пошаговой моей инструкции, и делать все на бумаге, то получается следующее.

У нас есть отрезок. Мы должны его поделить на три равные части с помощью циркуля.

Диаметр циркуля должен быть больше половниы данного отрезка, но меньше длины этого отрезка.

С двух концов отрезка (точка А,В) проводим окружность,они пересекаются в двух точках над отрезком (точка С, D). Строим лучи АС И DВ, они получаются паралельными.

С помощью того же циркуля с произвольным диаметром отмеряем 4 одинаковых отрезка по линиям АС и ВD.

На линии АС получаем точки А1,А2,А3. На линии ВD - В1,В2,В3. Соединяем между собой А1 ти В3 и т.д.

И ссответственно на отрезке АВ получаем три равніе части.

Как то так. Если бы можно было лично с вами пообщаться, я бы все разложил досконально на бумаге.

система выбрала этот ответ лучшим
Wale [33.8K]
у нас нет линейки мы не можем строить лучи или делать отрезки, только точки в местах пересечения или касания дуг  5 лет назад
Проповедни­к [87.5K]
неправильно. если соединим, как вы написали, то AВ поделится на 4 отрезка. 3 пересечения, значит 4 отрезка.
кроме того, опять же, необходима линейка.
 5 лет назад
Galina7v7 [111K]
"Соединяем между собой А1 ти В3 и т.д" Эти слова означают .что используется линейка.и без линейки тут не обойтись-как линии проводить-на глазок?  3 года назад
комментировать
3

Текстовое описание решения: 1) строим удвоенный и утроенный отрезок, 2) из концов исходного отрезка проводим две дуги утроенной длины, чтобы они пересеклись между собой, 3) из концов исходного отрезка проводим две дуги удвоенной длины, примерно на условной линии соединяющей концы отрезка и точку пересечения из шага 2, 4) из точки пересечения из шага 2 проводим дугу радиусом в размер отрезка эта дуга каснется двух дуг из шага 3. 5) расстояние между точками из шага четыре есть 1/3 от исходного отрезка, берем его и на исходном отрезке делаем зачеки. Задача решена.

Я пока привел решение без доказательств, промежуточных выкладок и построений, если будет что непонятно пишите распишу подробно.

PS данным методом можно делить отрезок одним циркулем на любое количество частей. Так как я не смог найти в инете предложенное мной решение, то хочу без лишней скромности закрепить за собой авторство такого способа. 29.03.2014 18:55 МСК

Wale [33.8K]
Хочу чтобы добавили возможность ставить "+" комментариям к вопросам. Кто "за" проголосуйте здесь http://bv.reformal.r­u/proj/?ia=625466  5 лет назад
Проповедни­к [87.5K]
Вы ещё переведите на язык геометрии. Например, что за дуга утроенной длины?
В общем решение понял, так и получится. Только первый пункт вы не можете сделать, так как у вас линейки нет. да он и лишний. Решение на 10 окружностей.
А вот решение у вас чисто виртуальное. Точку касания окружностей указать нереально.
 5 лет назад
Wale [33.8K]
первый пункт делается элементарно построением правильного шестигранника (по сути набора из шести равносторонних треугольников) со стороной равной отрезку соответственно если прилипить еще три равносторонних треугольника то будет тройной отрезок. Под треугольником я понимаю три точки образованные пересечением дуг  5 лет назад
Проповедни­к [87.5K]
ну да. так окружностей побольше, но зато чуть точнее для реальности. все равно замерить циркулем 2 касательные из последнего пункта практически невозможно.  5 лет назад
Wale [33.8K]
ну мы же воворим про геометричеки точное построение и соответственно у касающихся окржностей только одна точка общая, с которой мы и работаем  5 лет назад
все комментарии (еще 8)
комментировать
1

Кроме циркуля нам понадобятся линейка без делений для проведения прямых линий и ручка для того, чтобы чертить эти линии. Отмечаем на бумаге 2 точки А и В и проводим через эти точки прямую линию. На этой прямой линии имеем отрезок длиной АВ. С помощью циркуля чертим окружность радиусом равным АВ с центром в точке А. То есть окружность проходит через точку В. Затем чертим вторую такую же окружность радиусом АВ, но с центром в точке В. Эта окружность проходит через точку А. Эти наши окружности пересекаются в двух точках С и Д. Проводим прямую линию СД. Эта линия пересекает отрезок АВ в точке Е. Линия СД перпендикулярна АВ и делит наш отрезок АВ пополам. То есть АЕ = ЕВ. Так можно с помощью циркуля разделить любой отрезок пополам. Но нам надо на 3 части. Возьмем линию СЕ. На середину этого отрезка ставим точку Ф. (Как делить отрезок пополам, мы уже знаем). Через точку Ф проводим окружность с центром в точке А. И еще такую же окружность через точку Ф, но с центром в точке В. Точки пересечения этих окружностей с нашим отрезком АВ делят отрезок АВ на 3 равные части.

А как обойтись без линейки и ручки, я пока не знаю.

1

В вопросе не оговаривается точность деления, значит допускается приближенное деление. Такое деление без всяких построений можно выполнить методом последовательных приближений. Но автор предполагает геометрическое построение. Я предлагаю следующее построение. 1)чертим первую окружность с центром в точке А или В радиусом равным длине отрезка АВ, например с центром в точке В ; 2) чертим дугу второй окружности с центром в точке А тем же радиусом АВ до пересечения с первой окружностью и получаем точку Т и Т1; 3) чертим дугу третьей окружности с центром Т касательную к АВ и получаем точку касания Е, которая разделит АВ надвое (АЕ=1/2АВ); 4)аналогичным образом делим АЕ надвое и получаем точку К (АК=1/4АВ); 5) чертим дугу окружности с центром в точке В радиусом ВК до пересечения с первой окружностью и получаем точку М; 6)чертим дугу окружности с центром в точке М касательную к АВ и получаем точку касания С, АС будет приблизительно равен 1/3 АВ и откладываем СD равный АС.

Wale [33.8K]
ну следуя Вашей логике раз точность не оговорена, то можно обойтись даже без циркуля, ткнуть карандашем на отрезке две любые точки и сказать поделил с точностью (наппример если отрезок 10 см) +- 5 см. А коментарий к решению аналогичному Вашему я уже писал, посмотрите другие ответы  5 лет назад
bezdelnik [31.6K]
Вы можете выполнить предложенные мной построения и убедиться, что погрешность гораздо меньше, чем +-5 см, к тому же в сантиметрах погрешность не оценивается, так как длина отрезка не задана.  5 лет назад
Wale [33.8K]
а мнену жно чтобы погрешность была ноль, когда вы делите 6 на 3 и получаете 2 вот здесь погрешность ноль. Как Вы бы среагировали елси бы получили ответ на вышеприведенный пример "приблизительно 2" ? Сразу скажу что есть способ (а может быть и способы) сделать это построение с погрешностью ноль за конечное число шагов, по моим прикидкам 10-12 шагов  5 лет назад
bezdelnik [31.6K]
Любые реальные геометрические построения не могут быть абсолютно точными. Абсолютно точными графические построения могут быть только теоретически, как например трисекция угла по Архимеду. Если Вы знаете теоретически точный способ деления отрезка на три только одним циркулем, то было бы интересно ознакомиться с ним.  5 лет назад
Wale [33.8K]
Конечно теоретически, я и подразумеваю, что геометрически точный это чисто теоретически, так как идеально точно нельзя поставить циркуль в одну и ту же точку или (простите за грубость) раздвинуть ему ноги на одинаковую величину. Способ который я знаю я придумал сам, просто хотелось дать людям возможность тоже додуматься до него. Принципиально он похож на деление отрезка пополам, только несколько расширен.  5 лет назад
все комментарии (еще 7)
комментировать
1

Делим отрезок AB на 4 части *. Далее рисуем отрезок AC равный 3/4 от первоначального отрезка так, чтобы он начинался из точки первоначального A и чтобы он лежал не на одной прямой с ним. Далее отмечаем на втором отрезке AC две точки D и E, которые поделят его на 3 части *. Конец второго отрезка соединяем с концом первого отрезком BC. Далее проводим через точки D и E две прямые, параллельные отрезку BC *. Они поделят отрезок AB на 3 равных отрезка в соответствии с теоремой Фалеса.

Звездочкой * отмечены тривиальные задачи, которые слишком долго объяснять, но додуматься до которых можно быстро и самому.

Что же касается черчения прямых, то у меня рука твердая, прочертить могу и без линейки. Ну или с помощью бесконечного циркуля, что тоже является тривиальной задачей.

Wale [33.8K]
а как циркулем проводить прямые?  5 лет назад
Проповедни­к [87.5K]
ставишь иголку в бесконечности, а карандашиком здесь прямую рисуешь. Учитывая, что углы в моем построении не используются, направление, в котором расположена бесконечно удаленная точка не важно.
Кстати, прямая- это вырожденная окружность.
 5 лет назад
Wale [33.8K]
а как это сделать на обычной бумажке и обычным циркулем?  5 лет назад
Проповедни­к [87.5K]
по точкам. аналитическая геометрия в помощь.  5 лет назад
комментировать
1

Если дан отрезок, то циркулем с концов отрезка проведите засечки, радиусом равным длине отрезка и полученную точку соедините с концами отрезков - у Вас получится равнобедренный треугольник со стороной, равной длине отрезка. С конца двух вершин данного трегольника проведите медианы к сторонам треугольника (с помощью циркуля это легко сделать, ведь медианы перпендикулярны будут сторонам). Медина делится в пропорции 1:2 - то, что надо. Из точки перекрещения медиан проведите прямую, параллельную стороне созданного треугольника, она пропорционально разделит сторону отрезка на одну треть, что нам и необходимо.

Wale [33.8K]
а теперь попробуйте это сделать циркулем на бумажке. Очень интерено ка Вы будете чертить стороны равностороннего треугольника  5 лет назад
Katar [2K]
Очень просто, с концов данного отрезка циркулем делаем засечки, радиусом самого отрезка и концы отрезка соединяем с полученной точкой от засечек. Кажется я понял Ваше недоумение, прочитав ещё раз условие -оказывается ползоваться линейкой вообще нельзя, тогда придётся ещё подумать.  5 лет назад
комментировать
0

Заинтересовалась задачей.только про решение задачи без линейки и слушать не хочу.Понравилось решение по простоте у Katar .проще и быть не может.Пусть данный отрезое ВМ.Восстановим к нему перп-ляр к т.М .известным методом.и от него по разные стороны отложим циркулем МА=МС.получим тр-ник АВС.Проведем медианы АМ1 и СМ2.Т.О пересчения всех медиан делит отрезок ВМ на ОМ=1\3 ВМ и ОВ=2\3 ВМ.Отложим циркулем ОО1=МО и О1В=О1О=ОМ-3 равных отрезка.Есто еще один способ тоже простой-но с линейкой!

Wale [33.8K]
А почему слышать не хотите? Если задача как раз поставлена как сделать без линейки :)  3 года назад
Galina7v7 [111K]
но тут все решения предполагают линейку:1)" Конец второго отрезка соединяем с концом первого отрезком BC. Далее проводим через точки D и E две прямые, параллельные отрезку BC *. Они поделят отрезок AB на 3 равных отрезка в соответствии с теоремой Фалеса."-тут линейка прямо обязательна-один из ответов.и во всех ответах-линейка.И по теореме Фалеса легче всего.А как прямые проводить?  3 года назад
Wale [33.8K]
почитайте мой ответ, там нет линейки  3 года назад
Galina7v7 [111K]
"Соединяем между собой А1 ти В3 и т.д."-это выдержка из Лучшего ответа.и что такое "соединяем­" .как не линейка.не ниткой же соединяют  3 года назад
Wale [33.8K]
Я сказал не про лучший очень а про мой. Лучший ответ не правильный. Это система выбрала его лучшим не вникая в суть ответа  3 года назад
комментировать
0

Такую операцию можно проделать методом последовательных приближений, с бесконечной точностью при бесконечном количестве действий. Алгоритм: Первоначальный раствор циркуля берем меньше длины отрезка и пробуем уложить данный раствор три раза в длину отрезка, с последующей коррекцией в плюс или минус величины раствора циркуля.

Wale [33.8K]
зачем давать ответ заранее противоречащий условиям? там же конкретно сказано, как должна быть решена задача  5 лет назад
Водяной [7.5K]
Не вижу противоречия. По другому без линейки не решить по - моему.  5 лет назад
Wale [33.8K]
Вы предлагаете приблизительное решение, а нужно геометрически точное. Решение без линейки есть, количество шагов не считал но примерно 10-12 шагов  5 лет назад
Водяной [7.5K]
Хорошо, подумаю еще, хотя это решение в не противоречит заданию.  5 лет назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID