Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
1

Вы сможете русским языком объяснить что такое ортотреугольник?

КапитанОчевидность [25.6K] 6 лет назад
2

Возьмем любой остроугольный треугольник (*тупоугольные не годятся, так как высоты будут выходить за пределы треугольника*). Если вписать внутри этого треугольника другой треугольник так, чтобы его вершины совпадали с основаниями высот 1-го треугольника, то 2-й треугольник по отношению к 1-му будет называться высотным или ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником). Название "ортотреугольник" происходит от геометрического понятия "ортогональность" - перпендикулярность.

На картинке треугольник A1-B1-C1 - это ортотреугольник, вписанный в треугольник ABC.

текст при наведении

Ортотреугольник обладает замечательными свойствами (*которые несложно доказать*):

  • Высоты исходного треугольника являются биссектрисами ортотреугольника (то есть, высоты 1-го делят углы 2-го пополам). Таким образом, если пустить бильярдный шар (без подкрутки) из точки A1 в точку B1, то он, отразившись от сторон AB и AC, возвратится в точку A1.
  • Ортотреугольник отсекает треугольники, подобные исходному.
  • Две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с прилегающей стороной исходного треугольника.
  • Ортотреугольник обладаем наименьшим периметром из всех треугольников, вписанных в исходный треугольник ABC (Задача Фаньяно. *Под вписанными здесь понимаются такие треугольники, у которых вершины лежат на каждой стороне исходного*).
  • Периметр ортотреугольника есть удвоенное произведение высоты исходного треугольника на синус угла, из которого она исходит.
  • Периметр ортотреугольника есть удвоенная площадь исходного треугольника, деленная на радиус описанной вокруг него окружности.
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
ВасВас [22.9K]
Сорри, но второе свойство "работает" только если исходный треугольник - равносторонний...  6 лет назад
КапитанОче­видность [25.6K]
Спасибо.  6 лет назад
Владимир-2­012 [57.6K]
Не могу согласиться, что 2-е свойство верно только для равностороннего треугольника.
Вот доказательство. Прямоугольные треугольники АА1С и ВВ1С подобны, так как у них общий угол С.
Следовательно: А1С/АС=В1С/ВС. Отсюда: А1С/В1С=АС/ВС. Поэтому треугольники АВС и А1В1С подобны по 2-му признаку подобия (по двум сторонам и углу). Аналогично и про треугольники А1ВС1, АВ1С1.
 6 лет назад
ВасВас [22.9K]
Проведя аналогичные рассуждения для других вершин, получим вывод о подобии треугольников АС1В1 и АВС...  6 лет назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID