Как в домашних условиях тренировать свою память 70 летнему человеку?

все указанное Вячеславом и Лондрином (физическая нагрузка, стихи, иностранные слова) справедливо. Чтобы не повторяться добавлю еще:

К запоминанию стихов и иностранных слов стоит добавить положительные эмоции: музыку! - учите песни на русском и иностранных языках. Но воздержитесь от рока и металлов. Желательна легкая музыка: романсы или неаполитанские песни и тд.

Кроссворды и сканворды, судоку.

Любые математические вычисления в уме, можно начать с самых простых, нпример учебника 1 класса.

Шахматы и шахматные задачи, шашки

Мелкая моторика: вязание, каллиграфия, лепка

Гениальный способ - рисование, живопись. Это и мелкая моторика, и физическая нагрузка, и глаза и положит эмоции.

Написание воспоминаний, статей на актуальные темы

Не совсем домашние, но заслуживающие внимания: театральная студия и "клиника памяти" при вашем ПНД,

и, конечно же, интерактивные программные тренажеры: Викиум (я использую), NeuroNation, BrainApps, Peak, Lumosity, Cognifit, BrainExer и наверняка еще десятки разных программ. В подавляющем большинстве - они платные (попросите родственников подарить), но все имеют бесплатные варианты (усеченный функционал).

Желаю успехов, не сдавайтесь

В таком возрасте лучшая тренировка для памяти должна состоять из двух частей. Во-первых, человек должен ежедневно совершать прогулки. Желательно не менее 6 тысяч шагов. Научно доказано, что такое количество активности должно быть самым оптимальным, чтобы предотвратить угасание мозговой активности. И второе - это учить стихи наизусть. Один мой знакомый уже лет 10 учит стихи. ему сейчас за 80, но память светлая, дай Бог ему здоровья!

Можно начать учить языки. Есть толковые языковые платформы, приложения, заточенные под заучивание слов и выражений. Tobo, Duolingo. Языки - такое дело, - всегда пригодятся. Вдруг захочется путешествовать. И вообще, интересно.