Что такое паспорт семьи мобилизованного, где выдают, какой срок действия?

Нигде не выдают.

Это местные власти заводят у себя на каждую семью анкету со сведениями: кто, сколько, чем занимаются, какие проблемы и т.д.

Чтобы знать, что им нужно, заносить туда всякие возникающие потребности - ну, и пытаться всё это решать.

Набор льгот, как я понимаю, каждый регион сам устанавливает.

Но это к "паспорту" не относится - они действуют сами по себе.

А "паспорт" - просто "напоминайка", чтоб знать, кому что надо.