Как решить: В равнобедр. трапецию (Р=180,S=1620), можно вписать окружность?

введем следующие обозначения:

a - половина меньшего основание трапеции

b - половина большего основание трапеции

h - высота трапеции

по свойству равенства длин касательных, проведенных из одной точки к окружности,

получаем, что периметр трапеции равен 4*(a+b), при этом по условию задачи периметр трапеции равен 180, т.е:

4*(a+b) = 180

a + b = 45

площадь трапеции равна 1620, значит:

h*(a+b) = 1620

h = 1620/(a+b) = 1620/45 = 36

пусть О - центр вписанной окружности, тогда

∠ОFВ = ∠OFA, ∠OEC = ∠OEA,

при этом ∠ОFВ + ∠OFA + ∠OEC + ∠OEA = 180°

следовательно ∠FOE = 90°

по теореме Пифагора, получаем:

ОЕ² = b² + r²

ОF² = a² + r²

ЕF² = ОЕ² + ОF² = a² + r² + b² + r²

при этом ЕF = a + b

a² + r² + b² + r² = (a + b)²

2r² = 2ab

r² = ab = h²/4 = 18² = 324

подставляем значение b = 324/а в выражение: a + b = 45

получаем: a = 9, b = 36

треугольники ∆GXB и ∆DXC - подобные, следовательно:

ВХ = h*а/(a + b)= 36*9/45 = 7.2

Ответ:

расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания трапеции = 7.2