Почему в телефоне вай-фай включен, а интернет не работает?

Потому что Wi-Fi это связь с близким радиусом действия источника (максимум несколько десятков метров). Если вблизи вашего смартфона нет доступных роутеров, то Интернета вам не видать, как своих ушей. Надо отключать Wi-Fi и принимать обычный мобильный трафик (если он есть в вашем договоре с провайдером).

Теоретически можно договориться с другим обладателем мобильного Интернета, чтобы он включил у себя точку доступа и дал вам ее логин и пароль. Тогда вы сможете принимать Интернет через свой Wi-Fi-модем. Правда скорости там будут невысоки, но минимум важной информации вы сможете как получить, так и отправить...