Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
0

Как правильно посчитать предел lim (√(x²+x) - x), при х -> +∞?

ОлегТ [24.2K] 3 месяца назад

Надо посчитать предел lim (√(x²+x) - x), при х -> +∞

Считаем 1 вариантом:

lim (√(x²+x) - x) (вынесем х² под корнем)

= lim (√(x²(1+1/x) - x) (извлечем корень из х²)

= lim (x•√(1+1/x) - x) = lim x • lim √(1+1/x) - lim x,

так как lim √(1+1/x) = 1, при х -> +∞, то получаем

lim x - lim x = 0

То есть lim (√(x²+x) - x) = 0, при х -> +∞


Считаем 2 вариантом:

lim (√(x²+x) - x) (домножим числитель и знаменатель на сопряженное √(x²+x) + x, и получим в числителе разность квадратов)

= lim ((√(x²+x))² - x²)/(√(x²+x) + x)) (в числителе возведем корень в квадрат и приведем подобные)

= lim (x/(√(x²+x) + x)) (в знаменателе, как в 1 варианте вынесем х из под корня)

= lim (x/(х•√(1+1/x) + 1)) (сократим на х≠0)

= lim (1/(√(1+1/x) + 1)),

так как lim √(1+1/x) = 1, при х -> +∞, то получаем

= 1/(1+1) = 1/2

То есть lim (√(x²+x) - x) = 1/2, при х -> +∞


Какой же ответ правильный? В чем подвох?

Для интереса: Эксель, по мере роста х приближается к 0,5 И для больших чисел выдает ответ =0,5. Но с определенного момента (довольно больших х) выдает ответ 0.

1

Второй вариант, я думаю правильный, не противоречит правилам нахождения пределов. Можно умножать на сопряженное выражение.

А первый вариант, значит , содержит какую-то математическую, логическую ошибку

Я поломал голову, посмотрел интернет и, как мне кажется, нашел правило :

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций, если пределы множителей существуют. А здесь предел х можно ли в произведении на корень считать существующим?

Может в этом ракурсе его нет? Типа модуль х минус А больше эпсилон, а не меньше.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация