Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
0

Кто что знает про производные второго порядка функции двух переменных?

Mefody66 [31.5K] 2 недели назад

Мне преподаватель в институте сказал, что производная d2z/(dxdy) НЕ ВСЕГДА равна d2z/(dydx).

Может кто-нибудь привести пример функции двух переменных, у которых эти производные НЕ РАВНЫ друг другу?

Или наоборот, доказательство, что они равны ВСЕГДА, а мой препод ошибся?

бонус за лучший ответ (выдан): 50 кредитов
14

Сперва замечу, что вопрос озаглавлен неудачно: как следует из пояснения, он не о любых производных 2-го порядка, а о смешанных, и не «Кто что знает?» (и побольше, побольше), а о возможности их неравенства.

Давненько я не брал в руки учебников по математическому анализу, и уже не помню, что именно в них написано по этому поводу, ну и не буду их трогать, попробую ответить своим умом.

Первое, что приходит на ум — это повторные пределы, как известно, они могут при определённых условиях оказаться не равны, например, если в данной точке не существует предела функции в целом (называемого в одних источниках общим, в других, для случая функции именно двух переменных, — двойным или двукратным).

Производные — это частный случай пределов — пределы отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю. Смешанные производные — это повторные пределы, так как предел последовательно находится по приращениям различных аргументов дифференцируемой функции. Но вот являются ли смешанные производные при различном порядке дифференцирования повторными пределами одной и той же функции приращений аргументов исходной функции? Это хотя и правдоподобно, но не совсем очевидно, поэтому проверим.

Производная функции f(x,y) по x как предел:

g(x,y) := D[f(x,y),x] = Limit[(f(x+dx,y)-f(x,y))/dx, dx->0];

производная от неё по y:

D[D[f(x,y),x],y] = D[g(x,y),y] = Limit[(g(x,y+dy)-g(x,y))/dy, dy->0] =

= Limit[(Limit[(f(x+dx­,y+dy)-f(x,y+dy))/dx, dx->0] - Limit[(f(x+dx,y)-f(x,y))/dx, dx->0])/dy, dy->0] =

= Limit[Limit[(f(x+d­x,y+dy)-f(x+dx,y)-f(x,+dy)+f(x,y))/(dx­*dy), dx->0], dy->0].

Под знаками пределов получилось выражение симметричное относительно как x и y, так и dx и dy, и, поэтому очевидно, оно же получится при дифференцировании в другом порядке:

D[D[f(x,y),y],x] = Limit[Limit[(f(x+dx,­y+dy)-f(x+dx,y)-f(x,+dy)+f(x,y))/(dx­*dy), dy->0], dx->0].

То есть смешанные производные действительно являются повторными пределами одной и той же функции (заметим, что это не функция от аргументов x и y исходной дважды дифференцируемой функции (точка (x,y) полагается фиксированной), а функция от их приращений dx и dy).

Таковы общие соображения, по которым того, кому уже известно о возможном неравенстве повторных пределов (а при последовательном изучении курса математического анализа так и должно быть), не должна удивлять возможность неравенства смешанных производных; пример в своём ответе привёл коллега epimk­in. Буду рад, если кто-то даст более обстоятельный ответ на этот познавательный вопрос коллеги Mefody66. Интересующиеся могут также выполнить поиск в Интернет по запросу «равенство смешанных производных» (или «неравенство…»).

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Mefody66 [31.5K]
Вопрос так неудачно озаглавлен, потому что у заголовка есть ограничение в 75 знаков.
Если бы я написал, как вы предлагаете, и со смешанными производными, и с возможностью их неравенства - я бы вышел далеко за пределы этих границ.
 1 неделю назад
Mefody66 [31.5K]
А в остальном спасибо, очень подробное доказательство.  1 неделю назад
комментировать
2

Почитайте в интернете теорему Шварца о смешанных производных

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация