Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
2

Квадрат хитро разбит на 4 части, площади трёх даны. Как найти площадь 4-й?

Вонда М [2.6K] 2 недели назад

Дан квадрат, который разделен на четыре четырехугольника. Площадь трёх из них известна, а площадь четвертого надо найти. Площадь квадрата неизвестна, зато известно, что стороны квадрата делятся пополам сторонами четырёх четырехугольников. Площади четырёхугольников обозначены на рисунке.

3

Ира люблю длинные вопросы и ответы на БВ.

Я провела высоты треугольников, которые получились за счёт равных отрезков в этой четырёхугольной фигуре.

Это всё для красоты. Если за "х" принять любой отрезок. То площадь квадрата будет равна (2х)^2, то есть 4х^2. А теперь найду все гипотенузы образованные отрезками у треугольников: ЗАБ, БВГ, ГДЕ и ЕЖЗ, они все равны. Возьму БГ:

√2х^2 = √2*х ~ 1,4142х.

Sавдж = (2х)^2 = 4х^2.

Sбгез = (√2)^2х = 2х^2.

Внутренний квадрат занимает площадь равную половине внешнего квадрата, значит и равную сумме площадей 4-х треугольников.

Значит сумма противоположных треугольников равна и относится, как я принимаю неизвестный четырёхугольник за "у", к остальной паре треугольников.

Sбоз + Sу = Sбог + Sзое. Подставлю числа:

20 + у = 16 + 32.

у = 16 + 32 - 20 = 48 - 20 = 28 ед. Значит сумма всех площадей равна сумме всех четырёхугольников:

16 + 20 + 28 + 32 = 96 квадратных ед. Соответственно отрезок принятый мной за «х» равен:

(√(96))/2 = 4,89897948557 ед.

Х ~ 5 ед.

Мой ответ: Площадь 4-го неизвестного четырехугольника ГОЕД равна 28 единиц в квадрате.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
2

Применим метод 'математического шаманства'.

Разделим этот квадрат вертикалью и горизонталью (чёрными линиями) на четыре равных части, четыре квадрата.

Теперь сдвинем центр пересечения красных линий в точку пересечения чёрных линий.

Буквами "a", "b", "c", "d" и "e" пометим четыре треугольника и центральный четырёхугольник.

Что произойдёт при этом с исходными фигурами, которые в итоге превратятся в четыре одинаковых по площади квадрата?

Левая верхняя фигура станет равной по площади:

1) 20 - d + b,

правая верхняя фигура станет равной по площади:

2) 32 - a - b - c,

левая нижняя фигура станет равной по площади:

3) 16 + c + d + e,

правая нижняя фигура станет равной по площади:

4) x + a - e,

приравнивание 4) и 1) даст:

x + a - e = 20 - d + b,

или:

5) x = 20 - a + e - d + b,

приравнивание 4) и 2) даст:

x + a - e = 32 - a - b - c,

или:

6) x = 32 - 2a + e - b - c,

приравнивание 4) и 3) даст:

x + a - e = 16 + c + d + e,

или:

7) x = 16 - a + c + d + 2e,

складывая 5) 6) и 7), получим:

3x = 68 + 4e - 4a,

или:

8) x = 22.67 + 1.33e - 1.33a,

поскольку площадь фигуры "e" визуально больше площади фигуры "a", то, предполагая, что что разность их площадей будет составлять приблизительное одну квадратную единицу,

можно из равенства 8) заключить, что:

x ≈ 22.67 + 1.33 ≈ 24 квадратных единиц.

Но так ли это?

Давайте проверим. Тогда общая площадь большого квадрата будет равна:

20 + 32 + 16 + 24 = 92 квадратных единицы, а четверть будет составлять:

92 / 4 = 23 квадратных единицы.

А теперь обратим внимание на левую верхнюю фигуру. Чтобы из своей площади в начальных 20 квадратных единиц стать квадратом в 23 квадратные единицы, ей нужно приращение в три квадратных единицы, а это может только дать разность площадей:

"b" - "d",

но если их разность составляет три квадратных единицы, что визуально меньше, чем разность "e" - "a", принятая нами за одну квадратную единицу, то наш допуск явно неверен.

Разность "e" - "a" явно больше одной квадратной единицы и значительно больше. Возможно, разность в четыре квадратные единицы.

А это даёт уже иное значение в 8):

x ≈ 22.67 + (1.33*4) ≈ 28 квадратных единиц.

Давайте проверим и этот допуск.

Тогда общая площадь большого квадрата будет равна:

20 + 32 + 16 + 28 = 96 квадратных единицы, а четверть будет составлять:

96 / 4 = 24 квадратных единицы.

Но тогда разность "b" - "d" тоже будет составлять четыре квадратные единицы, что тоже вроде как неверно.

Пусть "e" - "a" составляет пять квадратных единиц, что будет давать такое значение в 8):

x ≈ 22.67 + (1.33*5) ≈ 29 квадратных единиц.

Давайте проверим и этот допуск.

Тогда общая площадь большого квадрата будет равна:

20 + 32 + 16 + 29 = 97 квадратных единицы, а четверть будет составлять:

97 / 4 = 24.25 квадратных единицы.

Но тогда разность "b" - "d" будет составлять 4.25 квадратные единицы.

Это уже ближе к визуальной оценке площадей.

Ответ: площадь правой нижней фигуры приблизительно равна 29 квадратным единицам.

2

Странно, что данная задачки предлагается ученикам 7-го класса. Если я правильно помню, квадраты чисел "проходят" намного раньше.

Ну, да, ладно, не в этом суть, хотя задачка, на мой взгляд, очень простая.

Полагаю, что здесь ход мысли должен быть такой.

  1. У нас есть квадрат, следовательно его площадь должна быть равна числу, из которого можно извлечь квадратный корень.
  2. Известная часть площади - 68 (каких-то единиц) + Х. Причем этот Х должен быть больше 16, но меньше 52.
  3. Вспоминаем значение ближайших квадратов чисел. Это будет: 64 (мало), 81 (тоже мало) 100 (подходит) 121 (много).
  4. Отсюда однозначное решение: Х = 100-68 = 34.

Вонда М [2.6K]
Ответ неверный. Правильный ответ 28.

В условии не указано, что стороны это целые числа. Явно ожидалось другое решение, потому что вы не использовали в решении факт, что углы четырёхугольников - это середины сторон квадрата. Зачем их бы об этом написали в условии, если бы это не было нужно для решения. И решение тут немного сложнее с доп.построениями и есть два решения с иксами и без.
 2 недели назад
Nina-iz-daleka [116K]
Ответ верный, так как в условии указаны только целые числа. И это - вполне разумно, так, как с дробными числами "правильных­" ответов будет десятка полтора.
Это раз.
Второе, именно то, что углы четырехугольников одновременно являются серединами сторон квадрата и является бесспорным основанием без всяких "дополнительных построений" определить "вилку" в допустимых значениях неизвестной части площади.
А то, что решение можно усложнить, путем нагромождения "дополнительных построений" или привлечением тригонометрии, доказательством его правильности никогда не являлось. )
 2 недели назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация