Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
3

Как вы можете обосновать верность выкладки 32х36=34^2-2^2?

GrigoriySm [2.3K] 3 недели назад

Если вы хорошо помните или умеете быстро восстанавливать в памяти квадраты натуральных чисел, то вы сможете и быстро перемножить, скажем, числа 32 и 36 следующим способом:

32х36=34^2-2^2=1156-4=1152

Обоснуйте верность приведенных выкладок и подумайте, к каким парам чисел удобнее применять указанный способ перемножения чисел.

4

Приведенные выкладки являются примером "разности квадратов". (a-b)(a+b)=a²-b². Но чтобы её применять для примеров подобных, которые вы указали надо выводить её немного в другом виде. У нас есть произведение 2 чисел m и n, а надо представить в виде разности квадратов "a²-b²". Тогда мы понимаем, что m должно быть (a-b) и n должно быть (a+b).

Из m=a-b => a=m+b; n=a+b => a=n-b; Сложив получим 2a=m+b+n-b или a=(m+n)/2 - то есть "a" - это среднее арифметическое между m и n. Если же отнимем одно от другого, то получим 2b=n-m или b=(n-m)/2 - то есть "b" - это половина разности.

Практически ни к каким не удобно. Потому что вместо одной операции умножения, надо проделать пять операций. 1) найти половину суммы между числами, 2) возвести это в квадрат, 3)наити половину разности между числами, 4) возвести это в квадрат, 5)найти разность между квадратами. Да при этом еще не забыть, что числа должны быть одной четности, чтоб не уйти в дроби.

А проделать проще это можно только с числами квадраты которых мы знаем наизусть и чтоб поиски полу сумм и полу разности не доставляло хлопот.

1)А это как правило числа до второго десятка идущие через одно число. Например 13•15=14²-1=195

2)Числа больше и меньше на одно и тоже число не более 9 от круглого десятка. Идеально подходит на 5. Например 55•65 = 60²-5² = 3600-25 = 3575 или 28•32=900-4=896


Гораздо лучше иногда применять эту формулу в обратную сторону когда надо подсчитать разность квадратов идущих через одно число. Например 46²-44²=(46+44)•(46-44)=90•2=180. Сложить два числа и умножить на 2 гораздо проще, чем возводить в квадрат два числа и искать их разность.

0

Обоснование верности этих выкладок проходят в пятом классе в теме "формулы сокращённого умножения", где на пальцах доказывается, что (a+b)(a-b) = a²-b². В справедливости чего можете легко убедиться, раскрыв скобки в левой части. Ну и надо ещё учесть, что равенства можно читать как слева направо, так и справа налево, то есть a²-b² = (a+b)(a-b).

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация