Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
0

Сколько всего треугольников, равных T, оказалось нарисовано(см)?

Мария ПростоТак [9.8K] 3 недели назад

Учитель нарисовал на доске правильный треугольник T. Потом, на каждой стороне треугольника дорисовал ещё три таких же треугольника. Затем, на каждой стороне получившихся треугольников – ещё по треугольнику. И так он сделал N раз. Сколько всего треугольников, равных T, оказалось нарисовано?

На рисунке показаны картинки исходного треугольника и то, что получилось после первого и второго раза.

категория: образование
2

К сожалению, текст задачи рассинхронизирован с рисунком, особенно это заметно если попробовать провести четвёртую итерацию (в дополнение к приведённым трём). К тому же мне лень проводить более или менее детальный анализ этой ситуации со сторонами треугольников. :) Так что я просто попробовал интуитивно провести ещё несколько шагов построения и просто индуктивно обобщить наблюдаемую закономерность.

Если через n(i) обозначить количество нарисованных треугольников на шаге i (нумеруется с единицы), то получается такая последовательность: n(1)=1, n(2)=4, n(3)=10, n(4)=19, n(5)=31, etc.

Отсюда гипотеза: n(i+1) = n(i) + 3i при начальном условии n(1)=1.

Если она верна (а я, как уже сказал ранее, даже и не собираюсь её доказывать/обосновыв­ать, хотя бы из-за нечёткой текстовой постановки), то можно попробовать ещё найти замкнутую формулу для n(N). Для этого просуммируем обе части: sum(n(i+1)) = sum(n(i)) + 3sum(i), где sum() означает суммирование по i от 1 до N-1. Левую часть можно представить в виде sum(n(i+1)) = sum(n(i)) - n(1) + n(N+1), просто выбросив из sum(n(i)) лишнее слагаемое n(1) и добавив недостающее n(N+1).

Теперь исходное выражение можно переписать как sum(n(i)) - n(1) + n(N+1) = sum(n(i)) + 3sum(i). Оставим в левой части только n(N+1), а всё остальное сгрузим в правую: n(N+1) = sum(n(i)) + 3sum(i) - sum(n(i)) + n(1). Суммы sum(n(i)) сразу сократим, а также заменим n(1) на 1 (в соответствии с начальным условием): n(N+1) = 3sum(i) + 1. Сумма арифметической прогрессии sum(i) равна sum(i)=N(N+1)/2, поэтому после подстановки получается n(N+1) = 3N(N+1)/2 + 1 или, после сдвига индекса, n(N) = 3N(N-1)/2.

В общем, вот моё предположение: n(N) = 3N(N-1)/2 (всё это, опять же, "по модулю" увы невнятной текстовой формулировки).

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация