Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
0

Задача как Вася и Петя решали задачи,каждый день на 1/2 больше. Как решить?

стервоза [9.9K] 8 месяцев назад

Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем в предыдущий. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.

а) Могло ли быть в сборнике 85 задач?

б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?

в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.

3

а) Может ли быть в сборнике 85 задач?

Вася в 1 день решил x задач, во 2 день x+1 задач, и т.д., в n день x+n-1 задач.

Всего S1 = (a1 + an)*n/2 = (x + x + n - 1)*n/2 = (2x + n - 1)*n/2 = 85

Петя в 1 день решил y задач, во 2 день y+2 задач, и т.д., в n день y+2n-2 задач.

Всего S2 = (a1 + an)*n/2 = (y + y + 2n - 2)*n/2 = (2y + 2n - 2)*n/2 = (y + n - 1)*n = 85

Получаем систему:

{ (2x + n - 1)*n = 2*85 = 170

{ (y + n - 1)*n = 85

Поскольку все переменные натуральные, очевидно, что 85 делится на n. Отсюда n = 5 или n = 17

1) n = 5

{ (2x + 4)*5 = 170

{ (y + 4)*5 = 85

Делим на 10 первое уравнение и на 5 второе уравнение.

{ x + 2 = 17; x = 15

{ y + 4 = 17; y = 13

Такое может быть.

2) n = 17

{ (2x + 16)*17 = 170

{ (y + 16)*17 = 85

Делим на 10 первое уравнение и на 5 второе уравнение.

{ x + 8 = 10; x = 2

{ y + 16 = 5; y = -11 < 0 - Не может быть.

Ответ: В 1 день Вася решил 15 задач, Петя решил 13 задач, и они решили всё за 5 дней.

б) Может ли быть в сборнике 213 задач, если n > 3?

Вася в 1 день решил x задач, во 2 день x+1 задач, и т.д., в n день x+n-1 задач.

Всего S1 = (a1 + an)*n/2 = (x + x + n - 1)*n/2 = (2x + n - 1)*n/2 = 213

Петя в 1 день решил y задач, во 2 день y+2 задач, и т.д., в n день y+2n-2 задач.

Всего S2 = (a1 + an)*n/2 = (y + y + 2n - 2)*n/2 = (2y + 2n - 2)*n/2 = (y + n - 1)*n = 213

Получаем систему:

{ (2x + n - 1)*n = 2*213 = 426

{ (y + n - 1)*n = 213

Мы знаем, что n > 3, а 213 = 3*71, поэтому n = 71

{ (2x + 70)*71 = 426 = 6*71

{ (y + 70)*71 = 213 = 3*71

Делим оба уравнения на 71

{ 2x + 70 = 6; 2x = -64 < 0 - Не может быть.

{ y + 70 = 3; y = -67 < 0 - Не может быть.

Ответ: этого не может быть.

в) n = 16, S < 300

У Васи: S1 = (2x + n - 1)*n/2 = (2x + 15)*16/2 = (2x + 15)*8 < 300

Очевидно, 2x + 15 >= 17, поэтому S1 >= 17*8 = 136

Числа от 136 до 300, кратные 8:

136, 144, 152, 160, 168, 176, 184, 192, 200, 208, 216, 224, 232, 240, 248, 256, 264, 272, 280, 288, 296.

Заметим, что в случае Васи 2x + 15 - число нечетное, поэтому выпадают числа, которые при делении на 8 дают четное.

Остаются: 136, 152, 168, 184, 200, 216, 232, 248, 264, 280, 296.

Возьмем наибольшее количество дней, то есть 296. Пусть Петя решил все задачи за m дней.

(y + m - 1)*m = 296 = 37*8

m = 2, 4, 8 или 37.

1) m = 8

(y + 7)*8 = 296

y + 7 = 37; y = 30 - за 1 день решить 30 задач трудно, но можно.

Но на 8 день решить 30 + 14 = 44 задачи уже почти нереально.

Пробовать m = 2 и m = 4 смысла нет.

2) m = 37

(y + 36)*37 = 296

y + 36 = 8; y < 0 - не может быть.

Получили, что 296 задач могло быть, но с трудом. Тогда в 1 день Петя решил 30 задач и решал их 8 дней.

Попробуем еще 280 = 8*35 = 5*7*8

Тогда для Васи:

(2x + 15)*8 = 280

2x + 15 = 35; 2x = 20; x = 10

Делители числа 280 могут быть m = 8, 10, 14, 20, 28, 35. Значения больше и меньше этих брать нет смысла.

1) m = 8

(y + 7)*8 = 280

y + 7 = 35; y = 28

2) m = 10

(y + 9)*10 = 280

y + 9 = 28; y = 21

3) m = 14

(y + 13)*14 = 280

y + 13 = 20; y = 7

4) m = 20

(y + 19)*20 = 280

y + 19 = 14; y = -5 < 0 - не может быть.

Самый лучший вариант: В задачнике было 280 задач, в 1 день Петя решил 7 задач, и решал их 14 дней.

А Вася в 1 день решил 10 задач и решал их 16 дней.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация