Задача. Как найти длину отрезка DP, если AP = 3, AB = 9√10?

Ответ: 9

Судя по всему AD - диаметр окружности, потому что окружность касается прямой CD в точке D. Тогда угол APD равен 90°. По формуле с пропорциональными отрезками получается, что DP²=AP*PC. AB=DC=9√10.

По теореме Пифагора:

DC²=PC²+DP²

Вместо DP² подставляем то, что нашли раннее:

DC²=PC²+AP*PC

(9√10)²=PC²+3PC

PC²+3PC-810=0

Находим через дискриминант:

PC=27

Подставляем в формулу, найденную раннее:

DP²=AP*PC

DP=√3*27

DP=√81

DP=9

Для того, чтоб было нагляднее - нарисуем картинку.

Как мы видим, окружность, чтоб и пересечь прямоугольник в точке D, и касаться прямой СD - должна расположиться вот таким образом. Как мы видим, AD является одновременно диаметром, а поскольку Вписанный угол APD равен половине соответствующего ему развёрнутого центрального угла, то он - прямой. Исходя из этого видим, что у нас есть два треугольника, в которых есть известная одна сторона, и в которых есть наша искомая сторона DP - APD и DPC.

Можно искать DP Через теорему Пифагора через оба треугольника

DP²=DC²-CP²

DP²=AD²-AP²

Но в большом прямоугольном треугольнике ADC у нас тоже фигурирует AD²=(AP+CP)²-DC²

Получается система, которую решаем способом сложения

9+PD²=AD², CP²=810-PD², AD²=(3+CP)²-810.

9+PD²=(3+CP)²-810, 810-PD²=CP². PD² исчезает.

Оставшееся уравнение даёт нам СP=27.

Подставляем в первое уравнение.

DP²=810-CP². DP²=81.

Итого, DP=9

Для наглядности построим рисунок.

Окружность,проходяща­я через точки A и D, будет касаться прямой CD и пересекать диагональ AC в точке P.

При этом угол APD=90°. т.е. прямой, поскольку опирается на диаметр AD.

Нужно найти длину DP. если АР=3, а АВ=9√10

• По т.Пифагора вычислим DC²=PC²+DP²
• DP²=AP*PC.(*)
• AB=DC=9√10.
• в первую формулу подставляем DC²=PC²+AP*PC,
• далее (9√10)²=PC²+3PC или PC²+3PC=810
• отсюда РС = 27
• В формулу (*) подставляем
• DP²=AP*PC
• отсюда ДР = √3*27
• итого ДР = 9

Внимательно посмотрев на окружность, которая у нас стыкуется с точками D И А, мы видим, что помимо этого, лна же касается и прямой CD, а также еще будет пересекать диагональ АC в точке P. Так как диаметр получается с именем AD, то мы вычислим , что угол APD будет прямым. А это уже приводит нас к двум треугольникам с одной известной стороной.

Пифагор приходит на помощь и потому DP в квадрате будет равняться DC в квадрате минус CP в квадрате. И тот же DP в квадрате = AD минус AP , понятно, что все в том же квадрате.

Из треугольника ADC мы выводим такую систему.

PD у нас самоликвидируется, а в сумме мы получим значение СР равно двадцати семи.

И теперь мы просто подставляем получившиеся цифры в первое уравнение, откуда получим ДР равно девяти.