Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
3

Почему 0^0=1?

Глеб20 [543] более года назад

Объясните почему многие говорят что ноль в нулевой степени равняется единице.

4

Самый простой ответ - по определению. Это равенство тупо постулируется.

Но вот почему было выбран именно такое определение - это можно обосновать: для того чтобы функция х° была непрерывной на всей числовой оси, в том числе и в точке х=0.

Чисто формально 0° есть неопределённость, которую можно раскрыть только если задаться функцией, которая приводит к именно такому случаю. И функцию можно выбирать достаточно произвольным образом. Ну вот такую, например. И раскрытие этой неопределённости как предела функции при х→0 даёт 1.

Это не единственный пример. Сходная функция - sin x/x, которая тоже в точке х=0 не определена. Но если опять же постулировать, что в этой точке значение функции равно 1, то мы опять приходим к непрерывной и непрерывно дифференцируемой на всей числовой оси функции. То есть к естественному удобству анализа.

система выбрала этот ответ лучшим
VictorNeVr­ach [6K]
Функция это терпит аж целых 2 разрыва, т.е. она в принципе прерывистая. 0 в нулевой, определенно и уже давным-давно, другой вопрос по какому приближению определено и с какой достоверностью. Т.е. здесь вы также не верны. Функцию нельзя выбирать произвольную, нуль в нуль это единственная функция - еще одна ваша ошибка. Ну а далее вы вообще зачем-то пишите про синус, у синуса нет предела, т.е. это вообще отдельная сказка. В целом совет на будущее, когда пишите вы должны знать, что и откуда идет, здесь вот четко нарушена вся логика. 4 косяка, это жестко. Но вы правы только возможно в 1, о чем не знаю я, может реально ту литературу, что вы читали и пишется якобы об устранении непрерывности, но если уйти от литературы и просто лично анализировать становится очевидно, что 1 вы никак не получите, но есть разделы математике, где есть иррациональное и нерациональное решение функций стремящийся к устранению дивергенции, вот как раз оттуда я думаю и берется эта 1. Вероятно вы о таком и е слышали.  более года назад
Грустный Роджер [375K]
"Функция это терпит аж целых 2 разрыва" - какая функция?

"вы вообще зачем-то пишите про синус" - я пишу про sinx/x, читайте внимательнее. И эту функцию я привёл просто как пример устранения разрыва первого рода.

"есть разделы математике, где есть иррациональное и нерациональное решение функций стремящийся к устранению дивергенции" - эта фраза заставляет меня усомниться в том, что сами вы математику знаете на достаточном уровне.
 более года назад
VictorNeVr­ach [6K]
Да, т.е. вы утверждаете, что бесконечность это число, интересно... Стремление функции к бесконечности, означает никогда не достижение значения функции при значении аргумента. Насчет синуса вы опять неправы, у вашей функции есть разрыв, но функции 0/0 в нем определенна, опять за счет методов приближения, а у обычного синуса - предела нет. Насчет последнего это матека диф. уравнений, вы ее точно не знаете, ее вообще мало кто знает. Не тех дифуров, что привычны в вышмате, это долгая история, в кратце скажу, это из раздела физики газовой механики. Поизучайте конвергенцию решений дифуров.  более года назад
VictorNeVr­ach [6K]
Попробуйте пойти от обратного, найти значение аргумента от значения функции при бесконечности - не сможете, по теории времени у функции в одно значение аргумента времени, максимум 1 значение функции, получается при x1=бесконечность, при x2=равно бесконечность, т.е. иными словами вы утверждаете что функция X^X расположена в полярке и носит периодичный характер (спираль, окружность, любая-другая фигура...), нет это не верно. Потому как бесконечность не принадлежит множеству аргументов, вообще бесконечность не тензор и не матрица, это просто то к чему все стремится, но мир-то у нас конечный. Значит бесконечность - бред. Просто нужно понимать абстракцию математики и реальность физики. Для чего вообще нужны все эти пределы? Просто что бы понять потенциал функции, будете проектировать пружину или САР, возьмете нужную для вас функцию и будете плясать от нее, вот и все.  более года назад
VictorNeVr­ach [6K]
Иначе говоря математике долбятся в сови эти функции, численные методы в помощь инженерам, и они знают что нет никакой бесконечности, но опровергнуть сегодня этого могут только смелые люди, все остальные будут вам втирать, что и воздух у нас вечен и жить мы будем вечно, но никто не скажет про то что будет если го концентрат падет до 16 и мы все умрем, и произойти это может банально из-за окислительных реакциях, т.е. из-за машин, промышленности, самолетов... Но зачем пугать - бесконечность... Я к математике отношусь напрямую, но я давно отказался от всего кроме численных методов, т.е. я давно отошел от абстракции, ибо мне надоело вся чушь - "По определению", все выводится, не знаете как, ну тогда и писать не надо. Я вот знаю, зачем придумали бесконечность - что мозги себе не парить до бесконечности, а вы дальше учебники читайте...  более года назад
все комментарии (еще 7)
комментировать
16

Попытаюсь кратко ответить на этот, заданный в утвердительной форме, вопрос. Более полный ответ о том, почему 0^0=1, если соберусь с силами, постараюсь дать в одном из похожих вопросов.

Для степени с показателем 0 основание степени не имеет значения, так как произведение нулевого числа сомножителей не зависит от этих сомножителей, которых попросту нет (число которых равно 0; другими словами последовательность которых пустая, то есть имеющая нулевую длину, или, ещё раз другими словами, индексируемая элементами пустого множества). Поэтому любое число, возведенное в нулевую степень будет равно одному и тому же значению (этому же значению по той же самой причине будет равен, например, факториал нуля 0!). Можно сказать, что в записи степени с показателем 0 основание степени не несёт никакого смысла и лишь является местодержателем, вместо которого, например, можно было бы оставить пустой квадратик, для сохранения общего вида записи.

Разобьём какую-нибудь конечную числовую последовательность на две подпоследовательност­и. Достаточно очевидно, что произведение элементов исходной последовательности равно произведению двух произведений элементов подпоследовательност­ей. Если одна из подпоследовательност­ей совпадает со всей последовательностью, а вторая в таком случае является пустой, то становится ясно, что произведение элементов пустой последовательности равно нейтральному элементу относительно умножения — числу 1:

<math>\prod_{i\in \varnothing} a_i = 1</math>
— то есть любая нулевая степень, включая степень нуля, равна 1.

Зачастую значение 0^0 избегают явно определять «де-юре» по той причине, что функция x^y двух аргументов: основания x и показателя степени y — имеет разрыв в точке (x,y)=(0,0). Но это неубедительная причина: наличие разрыва в точке не противоречит тому, что значение функции в этой точке определено. При этом де-факто равенство 0^0=1 негласно признают, например, при записи степенных рядов или многочленов, как сумм степеней переменной, начиная с 0-й, помноженных на некоторые коэффициенты, особо не выделяя случай равенства переменной нулю. Также плодотворным оказывается признание равенства 0^0=1 в комбинаторике.

Кратко замечу в этом ответе, что упомянутый разрыв совсем небольшой: при стремлении (x,y) к (0,0) x^y стремится к 1 по всем направлениям кроме двух противоположных. Пресловутая неопределённость «0^0» является лишь символической записью, в которой «0» в показателе степени — не число 0, а бесконечно малая величина, то есть переменная стремящаяся к 0. И осмелюсь предположить, что эта неопределённость раскрывается во что-то отличное от 1 лишь в нарочно составленных учебных заданиях.

3

X³ = X·X·X

X² = X·X

X¹ = X

Xº = X/X

Если 0 разделить на 0, то это считается неопределённостью.

А некоторые считают, что 0/0 равно 1.

Сначала нужно разобраться и понять, что такое деление.

Например деление на 2. Яблоко разделили пополам, и получилось 2 половинки.

То есть разделить содержимое на 2 половинки.

Яблоко разделить на 1 это взять одно целое яблоко.

То есть разделить содержимое на 1 человека.

А как разделить на 0 частей?

Вряд ли это означает "не делить вовсе", так как если "не делить вовсе", то это равнозначно делению на 1.

Вообщем раньше математики говорили, что "делить на ноль нельзя".

Думаю, что и тут тоже работает это правило, даже если в числителе тоже ноль.

А вот то, что 0/0 равно 1, так это, видимо, пошло из математической теории о пределах, когда под нулём подразумевается не абсолютный ноль, а бесконечно малое число, что-то типа 0.00000000000000001, только ещё меньше. Так вот если подобное число разделить на себя, то будет как раз единица.

wisgest [14.7K]
Вы почти весь ответ тратите на обоснование неопределённости 0/0, а не 0^0, исходя из ложной предпосылки, что по определению
X^0 = X/X.
Но это не определение 0-й степени. 0-я степень должна удовлетворять условию
X^n=(X^n)*(X^0),
но вовсе не обязательно, что, если таких значений несколько (как для случая X=0), то нельзя выбрать одно из них, исходя из других соображений, например, осмыслив понятие произведения нескольких сомножителей для случая их единичного и нулевого количеств (заметим, что уже отрицательным или дробным количество не может быть по определению).

И, как ни странно, к предпочтительности определения 0^0=1 можно прийти и исходя из соображений мат. анализа, так как, хотя общий предел x^y при (x,y)->(0,0) не существует, он будет существовать и равняться 1 для сужения этой функции двух переменных, если из её области определения определённым образом исключить сколь угодно малую часть сколь угодно малой окрестности точки (x,y)=(0,0).
 2 месяца назад
комментировать
3

Правило так и появляется, когда с его выводом соглашаются если не все, то очень-очень многие. Те кто не соглашаются - либо полные "дубы", либо настоящие "гении", прокладывающие свою колею в какой-либо области знаний. В нашем случае мы имеем дело с правилами математическими.

Так большинство населения планеты согласились считать верным утверждение о том, что любое число возведенное в нулевую степень дает всегда единицу. Даже отрицательное число в нулевой степени равно единице, поскольку ноль, как показатель степени, число четное по определению. Само число ноль, как основание для возведения в степень, в данном случае ничем не отличается от других натуральных чисел, а потому подчиняется общепризнанному правилу.

2

В тегах к этому интересному вопросу указаны логика и мышление. Поэтому приведу ещё один довод к справедливости 0⁰ = 1, основанный как раз на логике и подталкивающий к мышлению. Как минимум к взгляду на вопрос чуть с другой стороны.

Есть такая категория знаний: "Дискретная математика". А в ней разделы "Теория множеств" и "Математическая логика". У дискретной математики фокус на подсчёте вещей. Так, nᵐ представляет количество способов, которыми возможно сделать m выборов из n возможностей (при разрешённых повторениях и соблюдении порядка следования).

Следуя логике из предыдущего абзаца, в случае с 0⁰ получим количество способов, которыми возможно сделать ноль выборов из нуля возможностей. То есть просто ничего не делать. А следовательно такой способ существует. И он ровно один. 0⁰ = 1, что и требовалось доказать.

В дополнение рассмотрю 0¹, чтобы наглядно показать, как и в этом случае работает логика теории множеств. В этом случае нас интересует количество способов, которыми возможно сделать один выбор из нуля возможностей. Очевидно, нет такого способа что-то выбрать из ничего. Поэтому количество способов в этом случае равно нулю. Или справедливо 0¹ = 0.

В итоге равенство 0^0 = 1 не только по определению, но и логически обосновано.

wisgest [14.7K]
По-другому (возможно, так короче и кому-то понятнее), nᵐ — число всех возможных отображений из m-элементного множества в n-элементное.  3 месяца назад
комментировать
1

Это элементарно, но начать надо без всякой фигни, которую вам тут пытаются объянсить.

Нуль в нулевой степени это не число...

Это из разряда вышмата, и это по сути придел функции X^X (аргумента X в степени аргумента X), если представить эту функцию на графике, то получится следующее: часть функции будет степенной, очень похожей на параболу, но приближающийся к параллельной линии ординаты на + бесконечности по оси X, а вот приближаясь к нулю, она будет приобретать характер спирали и остановится в точке с координатами (1;0), так как 1 по X, то и функция 0^0=1.

У меня все.

Насчет непрерывности - не знаю о чем Роджер, в математике много приближенных значений концов функции в диф. матане терпят разрыв, т.е. как раз не желание сделать функцию без разрывной, в численно доказанное стремление к 1, собственно откуда и сам вывод предела. Может в классическом матане чушь и задирают про непрерывность, но это чистый развод, функция стремится к 1, но никогда ее не достигнет, т.е. разрыв все равно будет. Однако так, как число е-6 можно округлять до целого без страха и опасений, то число 0,999999... вполне считается 1.

1

Тут Гр. Роджер написал как всегда не то..

Функция sinx/x в нуле вполне определяется как первый замечательный предел..

Ещё проще это определяется с помощью известного правила Лопиталя..

Берём от этой функции производные числителя и знаменателя, потом подставляем 0 и получаем 1.. Но вернёмся к ноль в степени ноль..

Понять такое легко..

И математики в затруднительных случаях имеют множество хитроумных способов, как определить что-то..

В данном случае ноль в степени ноль можно найти находя предел функции..

По простому: откройте калькулятор он-лайн например..

Или воспользуйтесь экселом.. И начнём считать всё время уменьшая на порядак числа в основание и показатель степени:

0,1 в степени 0,1 будет 0,79432823472

0,01 в степени 0,01 будет 0,95499258602

0,001 в степени 0,001 будет 0,99311604842

и например 0,000000001 в степени 0,000000001 будет 0,99999997927

Как видно при уменьшении чисел в основании и порядке итоговая функция будет стремиться к 1..

Т.е. в идеале, когда числа будут бесконечно малы lim x->0 x^x=1..

Функция будет равна 1..

В математике это определяется строже..

wisgest [14.7K]
Возможно, коллега Грустный Роджер и написал в своём ответе не то (но не «как всегда»), но у Вас тоже не то. Ваш ответ, как и ответ VictorNeVr­ach (но у него под конец его нелепых комментариев появилось какое-то понимание: «имеют дело с z=x^y, где x и y не совсем равны, а точнее говоря они хоть и бесконечно малые, но каждая бесконечно малая своего порядка»), — безграмотный ответ не математика, а в лучшем случае инженера-ремесленника. Функция (sin x)/x, строго говоря, действительно не определена при x=0. Другое дело, что она естественным образом доопределяется по непрерывности, и, когда не требуется особая строгость, можно неявно считать, все такие функции доопределёнными таким образом, где только возможно. Но в вопрос не о ней…  3 месяца назад
wisgest [14.7K]
Мне интересно, почему почти все сразу начинают рассматривать функцию x^x, ведь показатель и основание вовсе не обязаны быть равны и могут стремиться к 0 совсем другими путям. Например, как (100*sin(x^1000))^(3­­*x^2). Правда и в этом случае, не считая, я уверен, что в пределе будет 1. И хотя я как раз убеждён, что надо полагать 0^0=1 (больше из алгебраических соображений, чем аналитических), я то хотя бы знаю контрпримеры по которым предел не равен 1 или не существует, например x^(1/log(x)) при x->0 (в этом случае основание стремится к 0 быстрее чем любая степени показателя).  3 месяца назад
комментировать
1

Вопрос звучит так:

« Почему 0^0 = 1 ?

Объясните почему многие говорят (,) что ноль в нулевой степени равняется единице (?) »

Ответ:

« Многие говорят, что ноль в нулевой степени равняется единице в силу своей математической безграмотности. »

Сложно-показательная функция f(x) = u(x)ʷ⁽ˣ⁾ определена при u(x) > 0.

Поэтому запись 0^0 = 1 это нелепость.

С другой стороны, во многих случаях f(x) → 1 при u(x) → 0, w(x) → 0.

Например, функция g(x) = xˣ → 1 при x → 0.

Потому имеет смысл доопределить её в нуле: g(x) = 1 при х = 0.

VictorNeVr­ach [6K]
Согласен 0^0=1 нелепость), но так и получили этот вывод, это условность которая в идеале должна писаться так: (бесконечно малое)^(бесконечно малого)=1, а тут уже спорить не получится, просто этой условности многие не оговаривают, многие считают в этой записи 0 (нуль) - числом равным самому себе, а в данном случае это ни так, поэтому если вы решали пределы в универе, вам все ровно приходилось писать 0^0=1 ))  более года назад
VictorNeVr­ach [6K]
Я вот писал, ибо это верно, даже если кто-то сочтет неграмотно, ибо система РФ уже устарела, в других странах такого опасения в записи 0^0 - нет, ибо это запись изначально имеет смысл там, где этот смысл известен.  более года назад
VictorNeVr­ach [6K]
Кстати, странную дискуссию люди вообще ведут, просто посчитайте и все станет ясно, странно что все еще есть те кто не признает численные методы... Глупо видет доказательства тех, кто приводит домыслы без численных экспериментам, это ни к вам относятся эо в целом к этой и многим другим проблемам, если б мир действительно был супер мега разрешенным, тогда б конечно можно было б все понять, но а так надо пользоваться методом конвергенции и логики, чему почему-то не где не учат.  более года назад
VictorNeVr­ach [6K]
Возможно, дело в том, что никогда не утверждают y=x^x=0^0=1 или имеют дело с z=x^y, где x и y не совсем равны, а точнее говоря они хоть и бесконечно малые, но каждая бесконечно малая своего порядка, где возможны варианты x>y или x<y, тогда уже z=x^y действительно неопределенность... Вероятно не уточнение и является порождающее все время спор...  более года назад
simpl [122K]
Электрон-это частица и волна..
Он может в определённых условиях проникать через энергетические барьеры, которые выше его энергии..
Это примерно как человек перепрыгнул через забор высотой в километр..
"Нелепость­".. Из этих и подобных "нелепостей­" состоит вся квантовая механика..
Природа не особо беспокоится об "очевидности­" для человека..
И в той же теории множеств много всяких "нелепостей­" типа парадокса Банаха-Тарского..
 3 месяца назад
все комментарии (еще 1)
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация