Почему 0^0=1?

Попытаюсь кратко ответить на этот, заданный в утвердительной форме, вопрос. Более полный ответ о том, почему 0^0=1, если соберусь с силами, постараюсь дать в одном из похожих вопросов.

Для степени с показателем 0 основание степени не имеет значения, так как произведение нулевого числа сомножителей не зависит от этих сомножителей, которых попросту нет (число которых равно 0; другими словами последовательность которых пустая, то есть имеющая нулевую длину, или, ещё раз другими словами, индексируемая элементами пустого множества). Поэтому любое число, возведенное в нулевую степень будет равно одному и тому же значению (этому же значению по той же самой причине будет равен, например, факториал нуля 0!). Можно сказать, что в записи степени с показателем 0 основание степени не несёт никакого смысла и лишь является местодержателем, вместо которого, например, можно было бы оставить пустой квадратик, для сохранения общего вида записи.

Разобьём какую-нибудь конечную числовую последовательность на две подпоследовательност­и. Достаточно очевидно, что произведение элементов исходной последовательности равно произведению двух произведений элементов подпоследовательност­ей. Если одна из подпоследовательност­ей совпадает со всей последовательностью, а вторая в таком случае является пустой, то становится ясно, что произведение элементов пустой последовательности равно нейтральному элементу относительно умножения — числу 1:

Зачастую значение 0^0 избегают явно определять «де-юре» по той причине, что функция x^y двух аргументов: основания x и показателя степени y — имеет разрыв в точке (x,y)=(0,0). Но это неубедительная причина: наличие разрыва в точке не противоречит тому, что значение функции в этой точке определено. При этом де-факто равенство 0^0=1 негласно признают, например, при записи степенных рядов или многочленов, как сумм степеней переменной, начиная с 0-й, помноженных на некоторые коэффициенты, особо не выделяя случай равенства переменной нулю. Также плодотворным оказывается признание равенства 0^0=1 в комбинаторике.

Кратко замечу в этом ответе, что упомянутый разрыв совсем небольшой: при стремлении (x,y) к (0,0) x^y стремится к 1 по всем направлениям кроме двух противоположных. Пресловутая неопределённость «0^0» является лишь символической записью, в которой «0» в показателе степени — не число 0, а бесконечно малая величина, то есть переменная стремящаяся к 0. И осмелюсь предположить, что эта неопределённость раскрывается во что-то отличное от 1 лишь в нарочно составленных учебных заданиях.

X³ = X·X·X

X² = X·X

X¹ = X

Xº = X/X

Если 0 разделить на 0, то это считается неопределённостью.

А некоторые считают, что 0/0 равно 1.

Сначала нужно разобраться и понять, что такое деление.

Например деление на 2. Яблоко разделили пополам, и получилось 2 половинки.

То есть разделить содержимое на 2 половинки.

Яблоко разделить на 1 это взять одно целое яблоко.

То есть разделить содержимое на 1 человека.

А как разделить на 0 частей?

Вряд ли это означает "не делить вовсе", так как если "не делить вовсе", то это равнозначно делению на 1.

Вообщем раньше математики говорили, что "делить на ноль нельзя".

Думаю, что и тут тоже работает это правило, даже если в числителе тоже ноль.

А вот то, что 0/0 равно 1, так это, видимо, пошло из математической теории о пределах, когда под нулём подразумевается не абсолютный ноль, а бесконечно малое число, что-то типа 0.00000000000000001, только ещё меньше. Так вот если подобное число разделить на себя, то будет как раз единица.

Правило так и появляется, когда с его выводом соглашаются если не все, то очень-очень многие. Те кто не соглашаются - либо полные "дубы", либо настоящие "гении", прокладывающие свою колею в какой-либо области знаний. В нашем случае мы имеем дело с правилами математическими.

Так большинство населения планеты согласились считать верным утверждение о том, что любое число возведенное в нулевую степень дает всегда единицу. Даже отрицательное число в нулевой степени равно единице, поскольку ноль, как показатель степени, число четное по определению. Само число ноль, как основание для возведения в степень, в данном случае ничем не отличается от других натуральных чисел, а потому подчиняется общепризнанному правилу.

В тегах к этому интересному вопросу указаны логика и мышление. Поэтому приведу ещё один довод к справедливости 0⁰ = 1, основанный как раз на логике и подталкивающий к мышлению. Как минимум к взгляду на вопрос чуть с другой стороны.

Есть такая категория знаний: "Дискретная математика". А в ней разделы "Теория множеств" и "Математическая логика". У дискретной математики фокус на подсчёте вещей. Так, nᵐ представляет количество способов, которыми возможно сделать m выборов из n возможностей (при разрешённых повторениях и соблюдении порядка следования).

Следуя логике из предыдущего абзаца, в случае с 0⁰ получим количество способов, которыми возможно сделать ноль выборов из нуля возможностей. То есть просто ничего не делать. А следовательно такой способ существует. И он ровно один. 0⁰ = 1, что и требовалось доказать.

В дополнение рассмотрю 0¹, чтобы наглядно показать, как и в этом случае работает логика теории множеств. В этом случае нас интересует количество способов, которыми возможно сделать один выбор из нуля возможностей. Очевидно, нет такого способа что-то выбрать из ничего. Поэтому количество способов в этом случае равно нулю. Или справедливо 0¹ = 0.

В итоге равенство 0^0 = 1 не только по определению, но и логически обосновано.

Это элементарно, но начать надо без всякой фигни, которую вам тут пытаются объянсить.

Нуль в нулевой степени это не число...

Это из разряда вышмата, и это по сути придел функции X^X (аргумента X в степени аргумента X), если представить эту функцию на графике, то получится следующее: часть функции будет степенной, очень похожей на параболу, но приближающийся к параллельной линии ординаты на + бесконечности по оси X, а вот приближаясь к нулю, она будет приобретать характер спирали и остановится в точке с координатами (1;0), так как 1 по X, то и функция 0^0=1.

У меня все.

Насчет непрерывности - не знаю о чем Роджер, в математике много приближенных значений концов функции в диф. матане терпят разрыв, т.е. как раз не желание сделать функцию без разрывной, в численно доказанное стремление к 1, собственно откуда и сам вывод предела. Может в классическом матане чушь и задирают про непрерывность, но это чистый развод, функция стремится к 1, но никогда ее не достигнет, т.е. разрыв все равно будет. Однако так, как число е-6 можно округлять до целого без страха и опасений, то число 0,999999... вполне считается 1.

Тут Гр. Роджер написал как всегда не то..

Функция sinx/x в нуле вполне определяется как первый замечательный предел..

Ещё проще это определяется с помощью известного правила Лопиталя..

Берём от этой функции производные числителя и знаменателя, потом подставляем 0 и получаем 1.. Но вернёмся к ноль в степени ноль..

Понять такое легко..

И математики в затруднительных случаях имеют множество хитроумных способов, как определить что-то..

В данном случае ноль в степени ноль можно найти находя предел функции..

По простому: откройте калькулятор он-лайн например..

Или воспользуйтесь экселом.. И начнём считать всё время уменьшая на порядак числа в основание и показатель степени:

0,1 в степени 0,1 будет 0,79432823472

0,01 в степени 0,01 будет 0,95499258602

0,001 в степени 0,001 будет 0,99311604842

и например 0,000000001 в степени 0,000000001 будет 0,99999997927

Как видно при уменьшении чисел в основании и порядке итоговая функция будет стремиться к 1..

Т.е. в идеале, когда числа будут бесконечно малы lim x->0 x^x=1..

Функция будет равна 1..

В математике это определяется строже..

Вопрос звучит так:

« Почему 0^0 = 1 ?

Объясните почему многие говорят (,) что ноль в нулевой степени равняется единице (?) »

Ответ:

« Многие говорят, что ноль в нулевой степени равняется единице в силу своей математической безграмотности. »

Сложно-показательная функция f(x) = u(x)ʷ⁽ˣ⁾ определена при u(x) > 0.

Поэтому запись 0^0 = 1 это нелепость.

С другой стороны, во многих случаях f(x) → 1 при u(x) → 0, w(x) → 0.

Например, функция g(x) = xˣ → 1 при x → 0.

Потому имеет смысл доопределить её в нуле: g(x) = 1 при х = 0.