Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
1

Как доказать рациональность корня из числа?

Ni Hao [1] 1 неделю назад

Доброго Вам времени суток. Подскажите, пожалуйста: как доказать рациональность корня из числа (например, из четырёх), посредством доказательства иррациональности корня из числа от противного? Пытался самостоятельно разобраться в данном вопросе, но в Сети об этом нет ни слова, а в своих рассуждениях раз за разом приходил к тому, что квадратный корень из четырех—иррационален­, хотя это не так. На мой взгляд, если, вдруг, окажется, что данное доказательство не может доказать рациональность корня из числа, тогда придётся искать другое доказательство существования иррациональных чисел. Надеюсь, что Вам этот вопрос тоже интересен. Спасибо.

1

Во первых, какого корня? квадратного? тогда докажите рациональность квадратного корня из 2, 3, 5, 7 и т. д.

Как по мне, нужно доказывать, что корень любого порядка из простого числа кроме 0 и 1 есть число иррациональное.

По сути.

Поскольку рациональное число (причём m =/= n, хотя если равны, то можно сократить и будет +/-1) подразумевает под собой несокращаемость числителя и знаменателя на общий натуральный делитель отличный от единицы, то, в таком случае, если один из них парный, то другой - всегда непарный, поскольку в другом случае их можно сократить на 2. То-есть, из Вашего комментария, если m - парный, m и n не имеют общих делителей, то n - всегда будет непарный.

0

Пусть корень из любого натурального числа иррациональное число.

Тогда корень из 4 тоже иррациональное число.

Но с другой стороны 2 в квадрате равно 4 и :

L(2^2)=2,здесь L-символ квадратного корня.

Но ведь L(2^2)=L 4

Вот и противоречие, 2 то ведь не иррациональное число.

Ni Hao [1]
Здравствуйте. Да, это, действительно, так. Но можно ли доказать рациональность таким же образом, как доказывается иррациональность? То есть, возьмём для примера квадратный корень из двух и предположим, что это рациональное число вида m/n. Тогда 2=m²/n². Опустим все дальнейшие преобразования этого доказательства и выводы из них. Хотелось бы понять: можно ли, используя именно это доказательство от противного (основанное на чётности/нечётности значений m и n), доказать рациональность числа? Если да, то как это выглядит для четырёх, например?  1 неделю назад
Евгений трохов [36.1K]
То есть вы хотите доказательство от противного, то есть корень из 4 будто нельзя представить в виде рациональной дроби вида m/n?  1 неделю назад
Ni Hao [1]
Вот это я и хотел бы доказать (мы просто знаем, что квадратный корень из четырёх—рационален, а я предлагаю забыть об этом и проверить его рациональность в рамках этого доказательства). То есть, представим, что есть рациональное число m/n, которое является квадратным корнем из четырёх. Тогда, 4=m²/n², а также m²=4n². Откуда делаем вывод, что m², как и само значение m является чётным числом. Тперь нужно доказать, что n не является чётным. В таком случае, число будет рациональным, т.к. по условию дробь m/n должна быть несократимой, но если, и m, и n будут чётными (или нечётными), то их можно будет сократить, хотя бы, на два. Я не смог доказать нечётность n. Напротив, я пришёл к выводу, что оно тоже чётно, но я, надеюсь, где-то ошибся в своих выводах. Этим всем я хотел бы проверить универсальность этого доказательства. Каковы должны быть дальнейшие рассуждения?  1 неделю назад
комментировать
0

Тогда

m=2n

Далее любое п можно представить как:

n=(2^s) *k, где к-нечетное число, а s-некоторая степень.

Если п=1, то s=9 и k=1 тоже.

В общем случае:

m=(2^(s+1)) *k

m^2=(2^2(s+1)) *k^2

Это я к тому что можно получить некое нечетное число k, заменив им число п.

Ni Hao [1]
Я правильно понимаю, что это значит, что можно смело утверждать, что n—нечётно, в данном случае. Или это всего лишь возможность того, что n может быть как нечётным, так и чётным? Просто, мы этого не можем точно сказать. Что на самом деле?  1 неделю назад
Евгений трохов [36.1K]
В общем, ничего страшного. Либо п-нечётное, либо всегда можно свести "п" к "k", которое будет нечетным  1 неделю назад
Евгений Борисович [1.7K]
Ni Hao [1],
Ну винегрет у вас в голове.

√4; √9; ...; ∛8; ∛27;... рациональные числи по определению.

Рациональность чисел нужно проверять, например:
√(3 + 2√2) − √(3 − 2√2) рациональное;
а √(3 + 2√2) + √(3 − 2√2) иррациональное.
 1 неделю назад
Ni Hao [1]
Дело всё в том, что не совсем ясно: действительно ли противоречие основанное на чётности/нечётности чисел m и n доказывает иррациональность числа? Чтобы в этом убедиться, предложил этим же способом доказать то, что нам и так известно. Если доказательство покажет, что квадратный корень из четырёх—рационален, то тогда, пожалуй, иррациональные числа существуют и доказательство работает.  1 неделю назад
Евгений Борисович [1.7K]
Вы какую-то пургу несёте ...
Надо хотя-бы пытаться понять,что вам пишут.
 1 неделю назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация