Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
4

Как найти числа, имеющие взаимную кратность?

Mefody66 [29.5K] 1 неделю назад

Найдите все пары натуральных чисел (m; n), такие что m*m + 1 делится на n, а n*n + 1 в свою очередь делится на m.

бонус за лучший ответ (выдан): 50 кредитов
3

Таких чисел очень много (бесконечно много), формулу сразу не придумать.

Вот только несколько чисел из первых 100 тысяч (исключены пары с обратным порядком чисел, например 5;2 или 13;5 и т.д.) :

  1. 1;1
  2. 1;2
  3. 2;5
  4. 5;13
  5. 13;34
  6. 34;89
  7. 89;233
  8. 233;610
  9. 610;1597
  10. 1597;4181
  11. 4181;10946
  12. 10946;28657
  13. 28657;75025

исключаем дублирование и получаем известную последовательность :

Можно подобрать формулу для вычисления следующего элемента, зная два предыдущих:

n- элемента последовательности

a(n) - элемент последовательности

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Mefody66 [29.5K]
Замечательно! А сумеете доказать, например, что 10946*10946 + 1 делится на 28657?
Я имею ввиду, доказать, не деля реально на калькуляторе, а как-то по-другому.
Например, разложив эти числа на множители?
И главное, как получить следующее число? Не по этой формуле a(n) = 3*a(n-1) - a(n-2), а рассуждениями?
Как вы вообще получили этот ряд? И как доказать, что он бесконечен?
 1 неделю назад
vdtest [17.5K]
Приведённые пары чисел получены просеиванием всех пар чисел от 1 до 100 тысяч, а последовательность получена из этих пар путём исключения дублирующих чисел.
10946*10946 + 1 =119814917
раскладываем на множители :
119814­917=37*113*28­657, поэтому 10946*10946 + 1 делится без остатка на 28657
Насчёт рассуждений надо подумать.
 1 неделю назад
Mefody66 [29.5K]
Я говорю о том, что в том месте, откуда я взял эту задачу, пустой ответ не примут.
Нужны доказательства, обоснования, например, что это ВСЕ такие пары, и мы ничего не пропустили.
И вообще, нужен алгоритм, как их находить?
 1 неделю назад
vdtest [17.5K]
Алгоритм:
mn=максимальное значение - устанавливается до начала вычислений
1.начало цикла перебора m от 1 до mn с шагом 1 - устанавливает m
2. начало цикла перебора n от 1 до mn с шагом 1 - устанавливает n (можно от m, до mn это исключит обратные пары ,например, 2;5 оставит, а 5;2 исключит и расчёт ускорится примерно в 2 раза)
3. если (m*m+1)/n и (n*n+1)/m целые натуральные числа печатаем m и n
4. конец цикла перебора n
5. конец цикла перебора m
Это можно записать на языке программирования, выполнить и получить результат, приведённый в ответе.
 1 неделю назад
Евгений Борисович [1.7K]
Если верна "формула для вычисления следующего элемента, зная два предыдущих", то:

An = [ (√5 + 1)(3 − √5)ⁿ + (√5 − 1)(3 + √5)ⁿ ] / 2ⁿ⁺¹·√5
 1 неделю назад
все комментарии (еще 3)
комментировать
1

Единственная комбинация, другие в голову не приходят, но если придут допишу.

1, 2.

1*1+1=2

2:2=1


2*2+1=5

5:1=5

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID