Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
4

Как найти площадь оранжевого треугольника?

Mefody66 [29.5K] 2 недели назад

Дан параллелограмм ARLT. В нем проведено несколько линий.

Даны площади некоторых из полученных фигур. Длины сторон и отрезков на сторонах (AS, AP, IL и т.д.) и внутри - неизвестны.

Обратите внимание: является ли параллелограммом фигура ASLI - неизвестно!

Как найти площадь оранжевого треугольника?

Я тут недавно задал шуточную задачу про гирлянду, так вот: эта задача - совершенно серьезная и очень трудная!

Бонус в 50 кредитов я даю не зря!

бонус за лучший ответ (выдан): 50 кредитов
4

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться знаменитой теоремой ковров (the carpet theorem), согласно которой "Если два ковра одинаковой площади перекрывают друг друга, то, не считая перекрытия, их оставшиеся части имеют равные площади".

Спрашивается, при чём тут ковры к нашему параллелограмму?

Представим, что у нас есть два куска ковра, которые покрывают наш параллелограм полностью: Один кусок - ∆TPL, а остаток - фигура, ограниченная замкнутой ломаной A-T-P-L-R-A. Площадь ∆TPL и сумма площадей ∆ATP и ∆PLR равна. Как это доказать?

Проведём линию, параллельную сторонам параллелограмма, от точки P на сторону TL в условную точку O.

∆TPO=∆TPA по второму признаку - у них общая сторона TP и равные прилегающие углы. Угол ATP углу TPO как внутренние накрест лежащие при параллельных AT и PO при секущей TP. Углы APT и PTO тоже равны по той же причине, но при параллельных AR и TL c секущей TP.

Аналогичным образом ∆RPL=∆OLP. Таким образом, площадь ∆TPL = 1/2 площади параллелограмма.

Теперь возьмёмся за иной ковёр из двух кусков.

Площадь фигуры, ограниченной замкнутой ломаной A-I-S-L-R-A равна площади многоугольника

AISLTA, и тоже равна 1/2 площади параллелограмма. Почему я так решил?

Проведем через точки I и S прямые, параллельные AR и TL (на картинке изобразил зелёным).

Каждая пара получившихся треугольников будет равной по тому же второму признаку равенства треугольников.

∆BSL=∆TLS (общая сторона и примыкающие углы равны как внутренние разносторонние при двух параллельных и секущей), ∆IDS=∆SBI, а ∆AID=∆DIS. А поскольку у нас площади этих фигур являются произведением сумм площадей треугольников (красных или соответственно белых на картинке 2), то и получаем, что эти два куска равны по площади, хоть и не обязательно одинаковы по форме.

Таким образом, мы доказали, что площадь ∆TPL = ∆AIS + ∆STL = половине площади параллелограмма S/2

Наконец, приступаем к поиску неизвестной. У нас есть две фигуры, площадь которых равна, хоть они и принципиально отличаются по форме. Это и есть наши два "ковра" AIS + STL и ∆TPL. Они накладываются друг на друга, образовывая фигуры c неизвестной площадью y и z (на картинке 3 - выделены зелёным).

Итак, у нас есть два варианта - либо используем указанное в начале определение из теоремы ковров, либо выводим это самостоятельно.

  • В варианте 1 нас не интересуют уже y и z, так как

Х+74+5=13+67

X+79=80

x=80-79=1

  • В варианте 2 мы просто идём через доказанное ранее равенство площадей фигур и подставляем имеющиеся данные:

∆TPL = z+67+y+13

∆AIS + ∆STL = x+z+74+y+5

x+z+74+y+5=z+67+y+13

x+z-z+y-y=67+13-74-5

x=80-79

x=1

Ответ - площадь оранжевого треугольника равна 1

НА самом деле, задача решается легко в одно действие если увидеть сразу эти "ковры" и не доказывать заново теорему.

Еще есть интересное видео на эту же тематику с похожей задачкой. Индийский акцент немного решет уши даже понимающим английский язык, но очень наглядно видно пояснение теоремы.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Mefody66 [29.5K]
Спасибо, отличное объяснение!  1 неделю назад
Sagavaha [9.7K]
Благодарю. Единственное, что во второй фигуре неправильно третью пару треугольников отметил - там стоит ∆AID=∆DIS, а имелись в виду ∆AID=∆IAR(белый с красным). Но смысл, думаю понятен.  1 неделю назад
комментировать
2

У меня получилось такое решение:

  • S(TAP)+S(PLR)=0.5*AP­*h+0.5*PR*h=

=0.5*AR*h=0.5*S(TARL­)

  • S(LSI)+S(IAR)=0.5*LI­*h+0.5*IR*h=

=0.5*LR*h=0.5*S(TARL­)

  • то есть, S(TAP)+S(PLR)=S(LSI)­+S(IAR)

  • ?+74+5+(сумма белых S)=

=67+13+(сумма белых S)

  • То, что в скобках сокращается,
  • ?+74+5=67+13
  • ?=1

Площадь оранжевого треугольника равна 1

1

Какая "эта задача — совершенно серьезная и очень трудная!" ?

Про оранжевый треугольник?

Это устная задача для подготовительного класса церковно-приходской школы.

Откуда, x = 1.

Mefody66 [29.5K]
Я совершенно не умею решать такие задачи, в школе мы такого точно не проходили.
Откуда вы взяли 79 и 80?
Ага, кажется, сообразил. 79 = 74+5, а 80 = 13+67.
Но мы видим, что a+b+13+67 = PLT, a+74+5+b+x = AIS + STL, я правильно понимаю?
Но кто вам сказал, что площади PLT = AIS + STL ?
И тем более, что каждая из них равна половине площади параллелограмма S/2 ?
 1 неделю назад
Евгений Борисович [1.7K]
Каждая равна площади треугольника, который отсекается диагональю.  1 неделю назад
Mefody66 [29.5K]
Где вы видите диагонали у параллелограмма? Их же нет.
Или вы их мысленно провели?
 1 неделю назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID