Может ли разведенный отец подать заявление на единовременную выплату 3-16?

Теоритически может конечно. Но врятли ему данную выплату одобрят. ПФР не будет раздавать выплаты без соответствующих проверок данных. Например, узнать разведены ли родители можно отправив запрос в ЗАГС. С кем прописаны дети отправив запрос в паспортный стол или УФМС. На кого назначины алименты отправив запрос приставам. Сложив ответы по этим запросам можно сразу понять кто на данный момент является законным представителем ребёнка.

Да и в любом случае для подачи заявления как минимум нужны свидетельство о рождении ребёнка и СНИЛС, если ребёнок проживает с вами, то и документы должны быть у вас.