Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
0

Задача. Как вычислить диаметр центрального шара в правильном тетраэдре?

Vasil Stryzhak [10.3K] 3 месяца назад

Таукитяне создали новое химическое соединение KS₄Z₁₂, молекула которого упакована атомами в решетку в форме правильного тетраэдра. В вершинах решетки расположились атомы элемента S, на ребрах (по два на каждом) - атомы Z, а центральное место в молекуле занимает элемент К. На схеме отмечены положения ядер атомов. Сферические же оболочки атомов на каждом ребре последовательно касаются друг друга. Оболочка центрального атома соприкасается со всеми.

Следует обосновать решение и определить диаметр атома К относительно длинны ребра тетраэдра.

2

Пусть радиус атома элемента S (надеюсь, что не сера, а К - не кальций) равен х, элемента К - равен y, а у элемента Z будет z.

Длина ребра тетраэдра a = 4z+x [I]

Радиус сферы, описанной вокруг вершин тетраэдра R = a sqrt(6)/4 = (x+y)/2

asqrt(6) = 2(x+y) ; a = 2(x+y)/sqrt(6) [2]

По теореме Пифагора квадрат расстояния от центра тетраэдра до середины ребра

R^2 - (a/2)^2 = 6a^2/16 - a^2/4 = a^2/8

По той же теореме квадрат расстояния от центра атома К до центра атома Z a^2/8 + z^2/4,

а с другой стороны это расстояние y+z.

y^2 + 2yz + z^2 = a^2/8 + z^2/4 [3]

Решая систему уравнений [I], [2], [3], можем выразить у через а

Жесть, но

y=a * (4sqrt(2) * sqrt(119 - 8sqrt(6)) + 19 sqrt(6) - 38 )/198

примерно так y = 0,32798 a

Евгений Борисович [1.6K]
Это почему "Длина ребра тетраэдра a = 4z+x" ?  3 месяца назад
Василий Котеночкин [21.6K]
да, действительно
4z+2x
y=0.48076
 3 месяца назад
Евгений Борисович [1.6K]
Неверно.

Очевидно, что x = z; a = 6x.
y + a/6 = a√6/4
Dк = 2y = a(3√6 − 2)/6 ≈ 0,8914a
 3 месяца назад
Василий Котеночкин [21.6K]
из x = z следует
SK = SZ = R
интересная описанная сфера
 3 месяца назад
Евгений Борисович [1.6K]
Конечно, наврал. Ближние к S не касаются.
Но, ответ неверный. Почему 2R = x + y ?
 3 месяца назад
все комментарии (еще 1)
комментировать
1

Пусть длина ребра 1. Тогда

R + ρ = √6/4

ρ + 2r = 1/2

(R + r)² − r² = 1/8

Откуда

R = (√6 − 2 + √(26 − 4√6))/16 ≈ 0,279667

Vasil Stryzhak [10.3K]
Лучше так: D = 839/1500  3 месяца назад
Евгений Борисович [1.6K]
Тогда уж так: D ≈ 839/1500.
Ещё красивши так: D ≈ 14/25.
 3 месяца назад
Vasil Stryzhak [10.3K]
Для двухзначных дробей лучше D ≈ 33/59 (погрешность в 60 раз меньше), из однозначных – D ≈ 5/9.  3 месяца назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID