Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
3

В чем ошибка доказательства для примера :(х+5)/(х-7)-5=(4х-40)/(13-х)?

Евгений трохов [33.5K] 4 месяца назад

А чем ошибочность данного доказательства? И заодно найдите, чему равен х?

категория: другое
3

Чтобы доказать, что ученик, проводя подобное рассуждение был неправ, достаточно указать хотя бы один пример, когда проведенное им рассуждение не работает.

Пример:

(0/5) = (0/8)

Равенство верное, числители у дробей равны, а знаменатели при этом не равны.

Ученик неправ.


Можно доказать, что при равенстве числителей и неравенстве знаменателей произвольных дробей, уравнение, в котором эти дроби приравниваются, будет иметь решение тогда и только тогда, когда числители равны нулю.

Пусть а не равно в и оба они не равны нулю, тогда

(х/а) = (х/в)

ах - вх = 0

Возможны два решения:

  • а=в, что противоречит условию;
  • х=0

чтд.


У нас как раз такой случай: при равенстве дробей и равенстве числителей нельзя указать такой х, при котором знаменатели были бы равны.

Следовательно числители могут быть равны только нулю, т.е.

4х - 40 = 0

х=10

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Евгений трохов [33.5K]
Всё верно.  4 месяца назад
андреюшка [110K]
интересная математика в школе. все правильно, но если есть один пример, подтверждающий обратное, то неправильно.... )  4 месяца назад
Никольский [7.6K]
андреюшка, а собственно ЧТО "все правильно"?  4 месяца назад
андреюшка [110K]
ну вот мы решаем этот пример, что вы дали. Все делаем правильно, но получается типа софизма (неправильно). А почему? - А потому что оказывается, есть один другой пример, в котором это неправильно видно явственно. Но пример-то один, и он не учитывает, что мы выполнили все математические законы и правила правильно. Какая-то двойная математика. Почему мы должны для доказательства ссылаться на дроби 0/5=0/8? Если это исключение, то математика тогда неточная наука...  4 месяца назад
Евгений трохов [33.5K]
Да таких примеров можно привести сколько угодно:
0/а=0/в,где а неравно в и не равно 0.
Но причем здесь это.
Ученик сделал неправильный вывод что при равенстве дробей и их числителей знаменатели у них тоже равны. Хотя, на первый взгляд, это верно. Вот это и есть софизм.
 4 месяца назад
все комментарии (еще 3)
комментировать
4

Причина в том, что нельзя в таких равенствах умножать одну дробь на одно и то же число (то есть и числитель, и знаменатель).

Если взять дробь без тождества, например, 1/2 и умножить и числитель, и знаменатель на минус 1, то получится дробь -1/-2. Как бы она тождественна первой.

Но вот в таких равенствах, это, получается, не работает. Мы меняем местами слагаемые и в числителе, и в знаменателе, но новая дробь не получается равной второй дроби (та, что стоит справа).

В тождествах, я знаю, мы можем умножать выражения, стоящие в разных частях тождества, на одно и тоже число. То есть и левую, и правую дробь мы могли умножить на одно и то же число. Например, на ту же минус единицу, и в этом случае у нас бы тождество сохранилось бы. А вот изменять одну только дробь, умножая ее на минус единицу, как бы нельзя... Вот потому и получается неправильный результат.

Если решать пример без этапа перестановки чисел в числителе и знаменателе, то получается нормальный обычный результат. х=10. Вот решение прикрепляю к ответу (внизу):

Где это написано в учебнике, и за какой класс не могу сказать. Но наверное где-то там, где проходят свойства тождеств. Где-то, как минимум, 8 или 9 класс.

Евгений трохов [33.5K]
Пример,понятно,решил­и и по правильному алгоритму.Но не нашли ошибку в этом софизме.Здесь в дроби
(40-4х)/(х-7) и числитель и знаменатель умножили на (-1) и получили дробь (4х-40)/(7-х).
А не просто умножили дробь на (-1).
разве,например,(8-2)/(3-1) не равно (2-8)/(1-3)?
(8-2)/(3-1)=6/2=3 и
(2-8)/(1-3)=(-6)/(-2)=3.
Так что подумайте.
 4 месяца назад
андреюшка [110K]
Я понял, в чем дело. Тут мы имеем дело не просто с цифрами, а с выражениями, в которые входят переменные. Если бы речь шла о числовых выражениях, проблем бы не было, и все бы сработало правильно. Но так как тут есть х, мы должны проверять область значений дроби. А она изменилась, когда мы умножили числитель и знаменатель на минус один. Это недопустимо, так как после этого получились неравные тождества.  4 месяца назад
Евгений трохов [33.5K]
Да дело не в умножении вовсе.  4 месяца назад
комментировать
2

Ученик в процессе решения уравнения в третьем действии поменял местами 7 и X в знаменателе первой дроби.

Если бы была операция сложения, действие верное, но здесь операция вычитания. Это ошибка, получилось совсем другое выражение.

Дальше равенство знаменателей при равенстве числителей - верное утверждение.

X-7=13-X -> X+X=13+7 -> 2X=20

X=10, суть равенства 0=0

Евгений трохов [33.5K]
Он ведь поменял не только в знаменателе,но и в числителе.Посмотрите внимательнее.То есть для дроби:
А/В=(-А)/(-В) и это всегда верно.
 4 месяца назад
комментировать
2

Ученик неправ в том что при равенстве дробей и равенстве числителей в них знаменатели тоже равны.

Здесь х=10,подставим это значение в третье равенство,получим:

(4*10-40)/(7-10)=(4*10-40)(13-10),далее:

0/(-3)=0/3,да это верно,НО из этого вовсе не следует что -3=3

0

Здесь речь идёт не столько о дроби, числитель и знаменатель которой можно умножать на какое-то одно и тоже число, а речь идёт прежде всего об уравнении, а вот в уравнении нельзя что-то умножать только на его левую часть, не трогая правой. Нужно было на -1 умножить и числитель и знаменатель и в правой части.

Евгений трохов [33.5K]
Умножьте, в чем же дело и решите.  4 месяца назад
Nasos [76.3K]
Зачем? Вопрос был - в чём ошибка. Я ответил - в чём.  4 месяца назад
Евгений трохов [33.5K]
Ошибка не в этом.  4 месяца назад
Nasos [76.3K]
Именно в этом. Если бы этот ученик проделал то же самое и с правой частью уравнения, то никакого равенства числителей он бы не получил и не смог бы вывести ту нелепицу, что у него получилась.  4 месяца назад
Евгений трохов [33.5K]
Вспомните основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и тоже число то значение дроби не изменится.Хотя в этом софизме дело вовсе не в этом.  4 месяца назад
все комментарии (еще 6)
комментировать
0

В третьем действии ученик умножил левую часть на -1,при этом в левой части необходимо перед дробью поставить «-».Вот только тогда уже можно рассматривать равенство знаменателей.

—(7-х)=(13 -х); 2х=20 ;х=10.

Евгений трохов [33.5K]
Он умножил и числитель и знаменатель на (-1),а не просто дробь в целом на (-1).Сравните левые части у второго и третьего равенств.Неужели не видите ?  4 месяца назад
Stan1711 [3.1K]
А разве только левую часть уравнения умножить на число, ведь надо и правую тоже умножить на тоже число.
Если а=в,то и -1*а= -1*в.Ведь это так!
 4 месяца назад
Евгений трохов [33.5K]
Никто с этим не спорит. Но здесь он умножил на (-1) и числитель и знаменатель.
Вы не путайте:вот примеры для понятия-
(-1)*(2/8)=(-2)/8 =-2/8 и
((-1)/(-1))*(2/8)=(-2)/(-8)=2/8
Видите а первом варианте (-2/8),а во втором варианте 2/8(без минуса)
 4 месяца назад
Евгений трохов [33.5K]
От умножения числителя и знаменателя дроби на одно и тоже число, отличное от 0, значение дроби не изменится  4 месяца назад
комментировать
Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID