Вход
Быстрая регистрация
Если вы у нас впервые: О проекте FAQ
1

Почему умножение матриц не коммутативно?

Грустный Роджер [255K] 2 недели назад

Вот умножение чисел подчиняется коммутативному закону (от перестановки мест сомножителей произведение не меняется), а умножение матриц, как и умножение элементов группы, - нет! А почему так?

бонус за лучший ответ (выдан): 15 кредитов
Грустный Роджер [255K]
Ну что, так и не будет правильного ответа?  6 дней назад
simpl [84.5K]
Интересно, Гр.Роджер ви таки можете дать правильный ответ?  6 дней назад
комментировать
2

Даже непонятно, как можно ответить на этот вопрос. Можно демонстративно перемножить две матрицы вот так и вот так - и сказать: вот видите, результаты разные. Можно пожать плечами и сказать - так получилось, так устроен мир. Этот вопрос сродни вопросу: Почему десятая цифра после запятой в разложении числа "пи" - это ровно 5, и ничто иное?

На самом деле, перемножение чисел и перемножение матриц - это абсолютно разные операции, даже применимы они к абсолютно разным объектам. Поэтому и свойства у них разные. Операции могут быть коммутативными, а могут и не быть. Можно обстругать доску, а потом покрасить, а можно наоборот - покрасить , а потом обстругать - результаты разительно различаются. Почему это произведение матриц должно быть коммутативно - только потому, что его решили обозвать произведением?

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
2

А всё просто!

Вспомним, для чего сначала применяется матричное умножение?

Первоначально матрицы начали применяться для решения системы линейных алгебраических уравнений..

Один из самых известных - решение системы уравнений методом обратной матрицы..

Здесь формально записывается:

А - матрица коэффициентов

Х - искомая матрица

В - матрица чисел

А(-1) - обратная матрица А

Тогда решение нужно искать в виде:

Х = А(-1)В

Из А находят А(-1), потом умножают на В, при этом для правильного результата нужно брать строки из первой матрицы и столбцы из второй..

Алгебраически складываем произведение чисел, пересечение строки и столбца даст искомый элемент..

При этом одним из условий необходимо, чтобы А была квадратной, а В - столбцом..

Потом далее абстрагировались и начали рассматривать не квадратные матрицы и умножение в общем случае матриц не квадратных и не столбцов..

Но свойство строка первой матрицы - столбец второй - оставили..

Вот и получается матрица, что стоит первой будет использовать строку, а если её поставить второй - будет использовать столбец, откуда и получается некоммутативность..

Это как в комплексном исчислении для удобства ввели комплексное число вида a+bi, а затем ввели кватернионы, где уже рассматриваются ортонормированные комплексные числа i, j, k, у них произведение тоже получается, кстати некоммутативным, у Гамильтона, который придумывал кватернионы тоже не клеилось, пока он не понял, что здесь некоммутативная операция..

Кстати, в тензорах, а они - серечь матрицами задаются, то есть несколько видов умножения: Кронекера, Хари-Рао, Адамара..

Вот умножение по Адамару будет коммутативным, здесь умножаются элементы матриц, находящихся на одинаковых местах..

1

Ну ладно, моя точка зрения на эту задачку.

Г-н Белодедов оказался близок к разгадке: умножение матриц на самом деле не является умножением в привычном арифметическим смысле. Ведь умножение в арифметике и в обычной алгебре есть по сути сокращённая запись сложения: вместо а+а+а+....+а сколько-то раз договорились записывать n*a (или даже na). И коммутативный закон при такой постановке автоматом следует из сочетательного. Ну натурально, представим число а как 1+1+...+1, а раз. Тогда умножение, по определению оного в арифметике, можно представить как

(1+1+...+1) + (1+1+...+1) + ... + (1+1+...+1)

нужное число раз. Из сочетательного закона сразу же следует, что скобки тут можно расставлять как угодно и разбивать всю эту сардельку из единиц на n групп по а единиц в каждой - или же на а групп по n единиц в каждой. Что и эквивалентно коммутативности умножения.

Ну а в матрицах умножение матрицы на матрицу не сводится к сложению матриц несколько раз, и поэтому переместительный закон для этой операции вовсе не обязан выполняться. Ну то есть иногда сводится, но тогда это не умножение матрицы на матрицу, а умножение матрицы на скаляр (для которого переместительный закон выполняется).


Симплу отдельный респект за знание того, что такое прямое (поэлементное) умножение матриц и как оно называется.

Насте Чук будет небезынтересно узнать, что принцип неопределённости Гейзенберга не следует из некоммутативности умножения матриц. Матрицы - это лишь один из возможных способов описания объектов, с которыми имеет дело квантовая механика, а принцип неопределённости - это фундаментальное свойство природы, которой до наших попыток её как-то описать... как бы помягче-то... по фигу ей, короче. И это не принцип следует из некоммутативности матричного умножения, а наоборот: в силу принципа неопределённости для наблюдаемых величин приходится применять немоммутируемые операторы.

1

Актуальный вопрос на самом деле, поскольку коммутативность матричного умножения - это одна из важнейших причин, по которым в квантовой механике есть принцип неопределенности Гейзенберга.

Необходимо признать тот факт, что это все таки свойство самой природы:" квантовая механика - очень точная наука".

Можно было бы ввести умножение матриц так, чтобы оно и было у нас коммутативным. Но, скорее всего, такое умножение было бы не очень полезным - и это касается не только в самой квантовой механике. Поэтому вывод таков, что , видимо, пришлось пожертвовать коммутативностью.

Знаете ответ?
Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее..
регистрация
OpenID